1、
工程光学综合练习
-----圆孔、矩孔的菲涅尔衍射模拟
圆孔和矩孔的菲涅尔衍射模拟
一、原理
由惠更斯-菲涅尔原理可知接受屏上的P点的复振幅可以表达为
其中为衍射屏上的复振幅分布，为倾斜因子。根据基尔霍夫对此公式的完善，有
设衍射屏上点的坐标为（x1, y1），接受屏上点的坐标为（x, y），衍射屏与接受屏间距离为z1，当满足菲涅尔近似条件时，即
此时可得到菲涅尔衍射的计算公式
把上式指数项中的二次项展开，并改写成傅里叶变换的形式，可以写成
上式为菲涅尔衍射的傅里叶变换表达式，它表白除了积分号
2、前面的一个与x1、y1无关的振幅和相位因子外，菲涅尔衍射的复振幅分布是孔径平面的复振幅分布和一个二次相位因子乘积的傅里叶变换。
相对于夫琅和费衍射而言，菲涅尔衍射的观测屏距衍射屏不太远。在菲涅尔衍射中，输入变量和输出变量分别为衍射孔径平面的光场分布和观测平面的光场以及光强分布，考虑到这三个量都是二维分布,并且Matlab重要应用于矩阵数值运算,所以本程序选择用二维矩阵来存储衍射孔径平面和观测平面的场分布,并分别以矩阵的列数和行数来相应平面的直角坐标值(x, y)以及(x1, y1)。
二、圆孔菲涅尔衍射
用MATLAB分别构造表达衍射屏和接受屏的二维矩阵。注意使两矩阵阶次相同，考虑到运算
3、量的规定，采样点数不能过多，所以每个屏的x和y方向各取200到300点进行运算。根据式（4），选取合适的衍射屏和接受屏尺寸和相距的距离，模拟结果如下：
取典型的He-Ne激光器波长λ=632.8nm，固定衍射屏和接受屏尺寸和相距的距离，分别取不同的圆孔半径，得到以下三组衍射图样，其圆孔半径分别为12mm，20mm，50mm
图 1（r=12mm）
图 2（r=20mm）
图 3(r=50mm)
三、矩孔的菲涅尔衍射
环节与上述相同，仅需改变与衍射屏形状相应的矩阵。这里选择矩孔的长宽相等，分别为15mm，20mm，30mm，其衍射图样及强度分布如图4、5、6
图 4（a
4、b=15mm）
图 5(a=b=20mm)
图 6(a=b=30mm)
四、MATLAB程序
%所有长度单位为毫米
lamda=632.8e-6;
若为圆孔，方框内替换为以下程序
r=12;a=1;b=1;
I=zeros(N,N);
[m,n]=meshgrid(linspace(-N/2,N/2-1,N));
D=((m-a).^2+(n-b).^2).^(1/2);
i=find(D<=r);
I(i)=1; %孔半径范围内透射系数为1
k=2*pi/lamda;
z=1000000;
%先拟定衍射屏
N=300; %圆屏采样
5、点数
a=15;
b=15;
[m,n]=meshgrid(linspace(-N/2,N/2-1,N));
I=rect(m/(2*a)).*rect(n/(2*b));
q=exp(j*k*(m.^2+n.^2)/2/z);
subplot(2,2,1); %圆孔图像画在2行2列的第一个位置
imagesc(I) %画衍射屏的形状
colormap([0 0 0; 1 1 1]) %颜色以黑白区分
axis image
titl
6、e('衍射屏形状')
L=300;
M=300; %取相同点数用于矩阵运算
[x,y]=meshgrid(linspace(-L/2,L/2,M));
h=exp(j*k*z)*exp((j*k*(x.^2+y.^2))/(2*z))/(j*lamda*z);%接受屏
H =fftshift(fft2(h));
B=fftshift(fft2(I)); %圆孔频谱
G=H.*B; %公式中为卷积，空间域中相卷相称于频
7、域中相乘
U= fftshift(ifft2(G)); %求逆变换，得到复振幅分布矩阵
Br=(U/max(U)); %归一化
subplot(2,2,2);
imshow(abs(U));
axis image;
colormap(hot)
% figure,imshow(C);
title('衍射后的图样');
subplot(2,2,3);
mesh(x,y,abs(U)); %画三维图形
subplot(2,2,4);
plot(abs(Br))
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