1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五节 函数微分,一、微分概念,定义2.4 若函数,在点,x处有导数,则称,为函数,在点,x处微分，记作,这时，称函数,在点,x处微分,，,或简称函数,可微。,例,求,微分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第1页,第1页,解,例,求函数,，当x由1改变到1.02时微分,与改变量,解,当,可见,相差很小，而当,将更快趋向于零。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,第2页,二、微分几何意义,设曲线,在点,处切线为MT，点N,为曲线上点M邻近点（如图）。,切线MT斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结
2、束,第3页,第3页,不难看出，,因此，函数,微分,在几何上表示了当自,变量x改变了,时，切线上相应点纵坐标改变量。图中,，它是当自变量改变了,时，曲线上相应点纵,坐标改变量。,三、微分在近似计算中应用,由微分定义可知，若函数,在点x处有导数，,那未当,时，有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,第4页,于是能够用函数微分来近似代替函数值改变量，即,解 设S，R分别表示金属圆片面积与半径，则,于是,例,半径为10厘米金属圆片加热后,半径增长了0.05,厘米，问面积大约增长了多少？,现以R=10cm，,=0.05cm 代入得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,第5页,答：面积大约
3、增长了平方厘米,由近似式,即可得到,因此能够利用它计算某点处函数值近似值。,例,求,近似值（准确到0.001）,解 令,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,第6页,在近似式,中，假如令,，则有,再令,于是得到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,第7页,此式表明，无论,那么复杂，只要,存在，那末在,附近，函数,都能够用线性函,数来近似代替。,例,试证，当,很小时，有,证 令,，于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,第8页,代入,即得到,类似地，当,很小时，可得下列近似式：,等等,作业：,P60,23(2),25,26(2)(3),27(2)28,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,第9页,思考与练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到，导数是从函数改变率问题归纳出函数增量与自变量增量之比极限，它们是完全不同概念.,第10页,第10页,
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