全等三角形的经典模型(一).doc

全等三角形的
经典模型（一）
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全等三角形的经典模型（一）

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题型一：等腰直角三角形模型

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等腰直角三角形数学模型思路：
⑴利用特殊边特殊角证题（或）.如图1；
⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；
⑶补全为正方形.如图3，4.

图1 图2

图3 图4

典题精练

【例1】 已知：如图所示，△中，，，O为的中点，
⑴写出点O到△的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要
求证明）
⑵如果点M、N分别在线段、上移动，且在移动中保持
.试判断△的形状，并证明你的结论.
⑶如果点M、N分别在线段、的延长线上移动，且在移动中保持，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．
【解析】 ⑴
⑵连接,
∵
∴△≌△
∴
∴
∴
∴
∴△是等腰直角三角形
⑶△依然为等腰直角三角形，
证明：∵∠90°，，O为中点
∴∠∠∠∠45°，
∴，
∵在△和△中，

∴△≌△（）

∴，∠∠，
又∵∠∠90°，
∴△为等腰直角三角形．

【例2】 两个全等的含，角的三角板和三角板，如
图所示放置，三点在一条直线上，连接，取的
中点，连接，．试判断的形状，并说明理由．

【解析】是等腰直角三角形．
证明：连接．由题意，得

∴为等腰直角三角形.
∵，
∴．
∴，
∴≌．
∴．
又．
∴，

∴是等腰直角三角形．

【例3】 已知：如图，中，，，是的中
点，于，交于，连接．
求证：．

【解析】 证法一：如图，过点作于，交于．
∵，，
∴．
∵，∴．
∵，∴
∵，∴．
∴．
在和中，

∴．∴．
在和中，

∴．
∴．

证法二：如图，作交的延长线于．
∵，∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，

∴．
∴，
∵，∴．
在和中，

∴．∴
∴．

【例4】 如图，等腰直角中，，为内部一点，满足
，求证：．

【解析】 补全正方形，连接，
易证是等边三角形，，，
∴，，∴，
∴．

【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型
在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：

【探究一】证角等
【备选1】如图，△中，∠90°，，M为中点，连结，作⊥交于点D，连结，求证:∠∠．

【解析】 作等腰△关于对称的等腰△，延长交于点N，
∵⊥，由正方形的性质，可得，
易证△ ≌△，∴∠∠，，
∵M为中点，∴，
∵∠1=∠2，可证得△≌△，
∴∠∠，
∴∠∠．

【探究二】判定三角形形状
【备选2】如图，△中，∠ 90°，，，⊥于点M，延长交的延长线于点F，试判定△的形状．

【解析】 作等腰△关于对称的等腰△，
可知四边形为正方形，延长交于点K，
∵⊥，可知，易证△≌△，
∴∠∠，，
∵，∴，
易证△≌△，∴∠∠，
易证∠∠，∴△为等腰三角形．

【探究三】利用等积变形求面积
【备选3】如图，△中，∠90°，，D为上一点，∥，∥，且4，3，求S矩形．

【解析】 作等腰△关于的对称的等腰△，
可知四边形为正方形，分别延长、交、于点N、M，

可知4，3，
由正方形对称性质，
可知S矩形矩形·34=12．

【探究四】求线段长
【备选4】如图，△中，⊥于点D，∠45°，3，2，求的长．

【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但∵∠45°，若分别以、为对称轴作△的对称直角三角形和△的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．
【解析】 以为轴作△的对称的△，再以为轴作△的对称的△．
可知3，2，
延长、交点G，∵∠45°，
由对称性，可得∠90°，且，
易证四边形为正方形且边长等于，
设，则－3，－2，
在△中，由勾股定理，得，
解得6，即6．

【探究五】求最小值
【备选5】如图，△中，∠90°，4，M为的中点，P为斜边上的动点，求的最小值．

【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作△关于对称的△，可知四边形为正方形，连接，可知点C关于的对称点D，连接交于点P，连接，则的值为最小，最小值为．

题型二：三垂直模型

思路导航

常见三垂直模型

例题精讲

【引例】 已知⊥，⊥，，，⑴求证：⊥；
⑵若将△沿方向平移得到①②③④等不同情形，，
其余条件不变，试判断⊥C1E这一结论是否成立？若成立，给予证
明；若不成立，请说明理由.

① ② ③ ④
【解析】 ⑴∵⊥，⊥
∴
在与中

∴（）
∴
∵
∴,即⊥
⑵ 图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明
∴
∵ ∴
∴⊥C1E

典题精练

【例5】 正方形中，点、的坐标分别为，，点在第一象限．求正方形边长及顶点的坐标．（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）

【解析】 过点C作⊥x轴于G，过B作⊥y轴于E，并反向延长交于F
点、的坐标分别为，
∴8， 6，∴10
∵四边形是正方形，∴
∵
∴
∵
∴△≌△
∴8，6
∴12 14
∴C(14，12)，正方形的边长为10
【点评】 此题中三垂直模型：

【例6】 如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，．
⑴ 求证：；

⑵ 求证：是线段的垂直平分线；
⑶ 是等腰三角形吗？请说明理由．

【解析】⑴∵，，
∴，∴，
∵，，
∴，∴．
⑵∵是中点，∴
由⑴得：∴
∵，∴，
∵，∴
由等腰三角形的性质，得：
即是线段的垂直平分线．
⑶是等腰三角形，
由⑵得：，由⑴得：
∴，∴是等腰三角形．

【例7】 ⑴如图1，△是等边三角形，D、E分别是、上的点，且，连接、相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠的度数= ；
⑵如图2，△中，∠90°，M、N分别是、上的点，且、，连接、相交于点P．请你猜想∠ °，并写出你的推理过程．
（2013平谷一模）

【解析】 ⑴图略，60°
⑵45°

证明：作⊥且.
可证≌
∴，
∵∴
∴
∴ 是等腰直角三角形,
又△ ≌△（）
∴
∴ ∥.
∴

思维拓展训练(选讲)

训练1. 已知：如图，中，，，是上一点，⊥的延长线于E，并且，求证：平分.

【解析】 延长交的延长线于F
∵⊥ ，
∴
∴ 在△和△中，

∴△△（）
∴
又∵
∴
∴是的中垂线∴
∴平分

训练2. 已知，在正方形中，E在上，⊥于G，交于F.求证：

【解析 ∵是正方形
∴
∵⊥ ∴
∴ ∵

∴
∴ 在△和△中，

∴△≌△（）
∴

训练3. 已知：如图，中，，，是的中点，于．求证：
【解析】 ∵，，是的中点
∴， ⊥
∴
∵
∴
∴
∴在△和△中，

∴△≌△（）
∴

训练4. 如图，已知矩形中，E是上的一点，F是上的一点，⊥，且，4，矩形的周长为32，求的长．
【解析】 在△和△中， ∵⊥， ∴∠90°，
∴∠∠90°，而∠∠90°，
∴∠∠．
又∠∠90°．
∴△≌△．

∴．
∴4．
∵矩形的周长为32 ，
∴2（4）=32．
解得6 ．

复习巩固

题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习
【练习1】 如图，△、△均为等腰直角三角形，则图中与△全等的三角形为.
【解析】 △

【练习2】 如图，已知中，，是的中点，，垂足为．，交的延长线于点．求证：．

【解析】 ∵，，
∴，
．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵是的中点，
∴，
即．

题型二 三垂直模型 巩固练习

【练习3】 已知：如图，四边形是矩形（＞），点E在上，且 ，⊥，垂足为F．请探求与有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．
F
A
D
C
E
B

【解析】 经探求，结论是： = ．
证明如下：

∵四边形是矩形，
∴ ∠B = ， ∥，
∴ ∠ = ∠．
∵ ⊥， ∴ ∠ = ，
∵ = ，
∴．
∴ = ．

【练习4】 如图，中，，，是上任意一点，
交延长线于，于．求证：．
【解析】 根据条件，、都与互余，
∴．
在和中，
，，
∴．
则，，
∴．

【练习5】 四边形是正方形．
⑴如图1，点G是边上任意一点(不与B、C两点重合)，连接，作⊥于点F，⊥于点E．求证：△ ≌△；
⑵在⑴中，线段与、的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)；
⑶如图2，点G是边上任意一点(不与C、D两点重合)，连接，作⊥于点F，⊥于点E．那么图中全等三角形是 ，线段与、的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)．

【解析】 ⑴在正方形中，，
∴

∴
在△和△中

∴（）
⑵
⑶△≌△

课后测

测试1. 问题：已知中，，点是内的一点，且，．探究与度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
当时，依问题中的条件补全右图．
观察图形，与的数量关系为；
当推出时，可进一步推出的度数为；
可得到与度数的比值为．
（2010北京中考）

【解析】 相等； ；

测试2. 已知：如图，在△中，于点D，点E在上，，过E点作的垂线，交的延长线于点F. 求证：.

【解析】 ∵于点，，
∴．
∴．
又∵于点，
∴．
∴．
在和中，

∴．
∴．

测试3. 如图， △中，∠90°,，，一条线段，P，Q两点分别在上和过A点且垂直于的射线上运动. 当△和△全等时,点Q到点A的距离为 .
5或10.