2025高考物理 磁场中的动态圆模型 备考教案.docx

第十一章　磁　场
专题十五　磁场中的动态圆模型

核心考点
五年考情
命题分析预测
“平移圆”模型

本专题内容为解决带电粒子在有界磁场中运动的模型归纳，单独考查的可能性不大，但在解决大量带电粒子在磁场中的运动问题时，会使解题更加方便快捷.
预计2025年高考可能会通过与带电粒子在磁场中做圆周运动有关的现代科技，考查带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题.
“旋转圆”模型

“放缩圆”模型
2020：全国ⅠT18
“磁聚焦”与
“磁发散”模型
2021：湖南T13
题型1　“平移圆”模型

适用条件
同种带电粒子速度大小相等、方向相同，入射点不同但在同一直线上.粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径r＝mv0qB，如图所示（图中只画出了粒子带负电的情境）
轨迹圆
圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为r＝mv0qB的圆进行平移，从而探索粒子运动的临界条件

垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域（阴影部分）可能是（　C　）

解析　带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，故选C.

题型2　“旋转圆”模型

适用条件
同种带电粒子速度大小相等，方向不同.粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，圆周转向相同，圆心位置不同，轨迹不同.若粒子射入磁场时的速度为v0，则粒子做圆周运动的轨迹半径为R＝mv0qB，如图所示（图中只画出粒子带正电的情境）
轨迹圆
圆心共圆
如图.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、半径R＝mv0qB的圆上
界定方法
将半径为R＝mv0qB的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而探索粒子运动的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法

2.[2023四川德阳期末]如图所示，竖直平行线MNPQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度大小为B，MN上O处的粒子源能沿不同方向释放速度大小相等、方向均垂直磁场的带负电粒子，已知粒子的电荷量为q，质量为m.粒子间的相互作用及重力不计，其中沿θ＝60°射入的粒子，恰好垂直PQ射出，则（　D　）
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a
B.粒子的速率为aqBm
C.沿θ＝60°射入的粒子，在磁场中的运动时间为πm3qB
D.PQ边界上有粒子射出的长度为23a
解析　粒子沿θ＝60°射入时，恰好垂直PQ射出，则粒子在磁场中转过30°，如图甲所示，由几何关系有Rsin30°＝a，解得R＝2a，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2R，则v＝2aqBm，故AB错误.沿θ＝60°射入的粒子，在磁场中的运动时间为t＝30°360°T＝112×2πRv＝πR6v＝πm6qB，故C错误.如图乙所示，θ＝0°时，粒子从PQ上离开磁场的位置与B点的距离为3a，当θ增大时，粒子从PQ上离开磁场的位置下移，直到粒子运动轨迹与PQ相切；θ继续增大，则粒子不能从PQ边界射出；粒子运动轨迹与PQ相切时，由半径R＝2a可知，粒子转过的角度为60°，所以出射点在PQ上O点的水平线下方3a处；所以PQ边界上有粒子射出的长度为23a，故D正确.

题型3　“放缩圆”模型

适用条件
同种带电粒子速度方向相同，大小不同.粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化
轨迹圆
圆心共线
如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度v越大，运动半径越大.带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直入射速度方向的直线PP'上
界定方法
以入射点P为定点，圆心位于直线PP'上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的临界条件，这种方法称为“放缩圆”法

3.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示.一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（　C　）

A.3mv2ae B.mvae C.3mv4ae D.3mv5ae
解析　为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，轨迹圆圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系有r2＋a2＋r＝3a，解得r＝43a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB＝mv2r，解得B＝3mv4ae，选项C正确.

题型4　“磁聚焦”与“磁发散”模型

原理
图像
证明
磁聚焦
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等（R＝r），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出

图甲
四边形OAO'B为菱形，是特殊的平行四边形，对边平行，OB必平行于AO'（即竖直方向），可知从A点入射的带电粒子必然经过B点
磁发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果带正电粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行

图乙
所有粒子运动轨迹的圆心与磁场圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是特殊的平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行且等于PO，即出射速度方向相同（均沿水平方向）

4.如图所示，半径为R的14圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场的左边垂直x轴放置一线形粒子发射装置，能在0≤y≤R的区间内各处沿x轴正方向同时发射出速度相同、带正电的同种粒子，粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，若某时刻粒子被装置发射出后，经过磁场偏转击中y轴上的同一位置，则下列说法中正确的是（　D　）
A.粒子都击中O点处
B.粒子的初速度为BqR2m
C.粒子在磁场中运动的最长时间为πmqB
D.粒子到达y轴上的最大时间差为πm2qB－mqB
解析　由题意，某时刻发出的粒子都击中y轴上一点，由最高点射出的粒子只能击中（0，R），可知击中的同一点就是（0，R），A错误；从最低点射入的粒子也击中（0，R），由几何关系可知粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝mv2R，则速度v＝BqRm，B错误；偏转角最大的粒子在磁场中的运动时间最长，显然从最低点射入的粒子偏转角最大，为90°，故其在磁场中的运动时间最长，时间t＝14T＝14×2πmqB＝πm2qB，C错误；从最高点直接射向（0，R）的粒子到达y轴的时间最短，则最长与最短的时间差为Δt＝t－Rv＝πm2qB－mqB，D正确.

1.如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，则从DC边的M点飞出磁场（M点未画出）.设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，从P点运动到M点所用的时间为t2.带电粒子重力不计，则t1∶t2为（　C　）
A.2∶1 B.2∶3 C.3∶2 D.1∶2
解析　画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R＝L，从C点射出的粒子运动时间为t1＝T4；由P点运动到M点所用时间为t2，圆心角为θcosθ＝R2R＝12，则θ＝60°，故t2＝T6，所以t1t2＝T4T6＝32，C正确.
2.[2021全国乙]如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°.不计重力，则v1v2为（　B　）
A.12 B.33 C.32 D.3
解析　设圆形磁场区域的半径为R，粒子的运动轨迹如图所示，沿直径MON方向以速度v1射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方向偏转90°，则其轨迹半径为r1＝R，由洛伦兹力提供向心力得qv1B＝mv12r1，解得v1＝qBRm；沿直径MON方向以速度v2射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方向偏转60°，由几何关系得tan30°＝Rr2，可得其轨迹半径为r2＝3R，由洛伦兹力提供向心力得qv2B＝mv22r2，解得v2＝3qBRm，则v1v2＝13＝33，B正确.
3.[多选]如图所示，空间中存在一半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板.大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子.粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力.关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（　ACD　）
A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越短
B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越长
C.若粒子速度大小均为v＝qBRm，出射后均可垂直打在MN上
D.若粒子速度大小均为v＝qBRm，则粒子在磁场中的运动时间一定小于πmqB
解析　对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，轨迹对应的圆心角越小，由t＝θ2πT＝θmqB可知，运动时间越短，故A正确，B错误.粒子速度大小均为v＝qBRm时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径r＝mvqB＝R，根据几何关系可知，入射点P、O出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间t＜12T＝πmqB，故C、D正确.
4.[2023豫北名校联考/多选]如图所示，直角三角形ABC区域内有一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，∠A＝30°，AB＝L.在A点有一个粒子源，可以沿AB方向发射速度大小不同的带正电的粒子.已知粒子的比荷均为k，不计粒子间相互作用及重力，则下列说法正确的是（　CD　）
A.随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间变短
B.随着速度的增大，粒子射出磁场区域时速度的偏转角变大
C.从AC边射出的粒子的最大速度为233kLB
D.从AC边射出的粒子在磁场中的运动时间为π3kB
解析

5.[多选]如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点.一个带正电的粒子（重力忽略不计）从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形区域内，经过时间t0刚好从c点射出磁场.现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向（如图中虚线所示）且以各种不同的速率射入正方形区域内，那么下列说法正确的是（　AD　）
A.该带电粒子不可能从正方形的某个顶点射出磁场
B.若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为32t0
C.若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为32t0
D.若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定为53t0
解析　带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，则知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝2t0.如图所示，随粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可以知道粒子在四个边射出时，不可能从四个顶点射出，故A正确；由几何关系可知粒子从ab边射出时经历的时间小于半个周期t0，从bc边射出时经历的时间小于23T，从cd边射出时轨迹所对的圆心角都是300°，经历的时间为5T6＝5t03，故B、C错误，D正确.
6.如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里.P为屏上的一个小孔，PC与MN垂直.一群质量为m、带电荷量为－q的粒子（不计重力），以相同的速率v从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域.粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内.则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为（　D　）
A.2mvqB
B.2mvcosθqB
C.2mv（1－sinθ）qB
D.2mv（1－cosθ）qB
解析　当粒子初速度方向与MN垂直时，粒子打中屏MN上被粒子打中的区域的最右端，到P点的距离x1＝2r＝2mvqB；当粒子初速度方向与PC夹角为θ时，粒子打中屏MN上被粒子打中的区域的最左端，到P点的距离x2＝2rcosθ＝2mvcosθqB，故在屏MN上被粒子打中的区域的长度为x1－x2＝2mv（1－cosθ）qB，D正确.
7.[选项图形化/多选]如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下列选项中的（其中B0＝mv0qL，A、C、D选项中曲线均为半径为L的14圆弧，B选项中曲线为半径为L2的圆）（　AB　）

A　　　　B　　　　C　　　　D
8.如图所示，正方形区域abcd内（含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用.已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.

（1）求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
（2）若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围.
答案　（1）143πm90qB　（2）qBl4m＜v0≤5qBl9m
解析　（1）粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示
有qBv0＝mv02R，又T＝2πRv0，解得T＝2πmBq
又由几何关系得θ＝74°，则粒子在磁场中运动的最长时间
t＝360°－74°360°T＝143πm90qB
（2）粒子轨迹与ad边相切时，如图乙所示，设此时初速度为v01，轨迹半径为R1，由几何关系可得
R1＋R1sin37°＝0.4l
又qBv01＝mv012R1，解得v01＝qBl4m

粒子运动轨迹与cd边相切时，如图丙所示，设此时初速度为v02，轨迹半径为R2，由几何关系可得
R2＋R2cos37°＝l
又qBv02＝mv022R2，解得v02＝5qBl9m
综上可得qBl4m＜v0≤5qBl9m.

9[与数学知识联系紧密/2024湖北武汉部分学校调研/多选]如图所示，在xOy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小B＝0.5T的有界匀强磁场（未画出），磁场右边界满足曲线方程x22＋y24＝1（其中x≥0，y≥0，单位：m），M点的坐标为（12m，32m）.从O点沿x轴正方向以不同速率射出大量质量m＝1×10－6kg、电荷量q＝＋2×10－4C的同种粒子，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，已知所有粒子均不从磁场右边界射出.下列说法正确的是（　BD　）
A.所有粒子在磁场中运动的时间不同
B.粒子的最大速率为100m/s
C.磁场中有粒子出现的区域面积为π3m2
D.某粒子从O点运动到M点的过程，动量改变量大小为1×10－4kg·m/s
解析　由题意可知所有的粒子应从y轴上沿x轴负方向离开磁场，则所有粒子在磁场中的运动时间均为T2＝πmqB，又所有粒子的质量和电荷量均相同，所以所有粒子
在磁场中的运动时间相同，A错误；当粒子在磁场中的运动轨迹与磁场右边界相切时，粒子的运动轨迹半径最大，速率最大，又粒子的最大轨迹圆方程为x2＋（y－rm）2＝rm2，磁场右边界的曲线方程为x22＋y24＝1，则联立所得方程的判别式Δ＝0，解得rm＝1m，根据粒子在磁场中运动时有qvmB＝mvm2rm，可得vm＝qBrmm＝100m/s，B正确；根据题意可知磁场中有粒子出现的区域面积为粒子在磁场中运动的最大轨迹圆面积的12，即S＝12πrm2＝π2m2，C错误；作出粒子运动过程中经过M点的轨迹如图所示，则由几何关系有r2＝（12m）2＋（32m－r）2，解得r＝33m，则粒子的速率为v＝qBrm＝10033m/s，根据图中的几何关系可知粒子在M点时速度方向与y轴正方向的夹角满足cosθ＝1233＝32，即θ＝30°，则粒子从O点运动到M点的过程，速度改变量的大小为Δv＝2vsin30°+90°2＝3v＝100m/s，所以此过程动量改变量的大小为Δp＝mΔv＝1×10－4kg·m/s，D正确.