2025高考数学 圆锥曲线的综合应用 备考教案.docx

突破5　圆锥曲线的综合应用
学生用书P202
命题点1　圆锥曲线的综合问题
例1 [多选/新高考卷Ⅰ]已知曲线C：mx2＋ny2＝1.（　ACD　）
A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为n
C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±－mnx
D.若m＝0，n＞0，则C是两条直线
解析　对于选项A，∵m＞n＞0，∴0＜1m＜1n，方程mx2＋ny2＝1可变形为x21m＋y21n＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝1n，该方程表示半径为1n的圆，错误；对于选项C，∵mn＜0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±－mnx，正确；对于选项D，∵m＝0，n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±1n，该方程表示两条直线，正确.综上选ACD.
例2 已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24＋y23＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）.
（1）证明：k＜－12.
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：｜FA｜，｜FP｜，｜FB｜成等差数列，并求该数列的公差.
解析　（1）解法一　设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x124＋y123＝1，x224＋y223＝1，两式相减，
并由y1－y2x1－x2＝k得x1＋x24＋y1＋y23·k＝0.
由题设知x1＋x22＝1，y1＋y22＝m，于是k＝－34m　①.
由题设得0＜m＜32，故k＜－12.
解法二　设直线l的方程为y＝k（x－1）＋m，
由y＝k（x－1）＋m，x24＋y23=1得（3＋4k2）x2＋8k（m－k）x＋4（m－k）2－12＝0，
Δ＝64k2（m－k）2－4（3＋4k2）[4（m－k）2－12]＝48（3k2＋2mk－m2＋3）.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝8k（k－m）3+4k2.
因为线段AB的中点为M（1，m）（m＞0），所以x1＋x22＝1，
即4k（k－m）3+4k2＝1，化简得m＝－34k.
由m＞0得，－34k＞0，所以k＜0.
又点M（1，m）在椭圆内部，
所以14＋m23＜1，即14＋316k2＜1，解得k＜－12.
经检验，当m＝－34k，k＜－12时，满足Δ＞0.
故k＜－12.
（2）由题意得F（1，0）.
设P（x3，y3），则由FP＋FA＋FB＝0，
得（x3－1，y3）＋（x1－1，y1）＋（x2－1，y2）＝（0，0）.
由（1）及题设得x3＝3－（x1＋x2）＝1，y3＝－（y1＋y2）＝－2m＜0.
又点P在C上，所以m＝34，从而P（1，－32），｜FP｜＝32.
于是｜FA｜＝（x1－1）2＋y12＝（x1－1）2+3（1－x124）＝2－x12.
同理｜FB｜＝2－x22.
所以｜FA｜＋｜FB｜＝4－12（x1＋x2）＝3.故2｜FP｜＝｜FA｜＋｜FB｜，即｜FA｜，｜FP｜，｜FB｜成等差数列.
设该数列的公差为d，则2｜d｜＝｜｜FB｜－｜FA｜｜＝12｜x1－x2｜＝12（x1＋x2）2－4x1x2　②.
将m＝34代入（1）中的①得k＝－1.
所以l的方程为y＝－x＋74，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋14＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝128，代入②解得｜d｜＝32128.
所以该数列的公差为32128或－32128.
训练1 （1）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1-c,0,F2c,0,点P是椭圆C上一点，满足｜PF1＋PF2｜＝｜PF1－PF2｜，若以点P为圆心、r为半径的圆与圆F1：（x＋c）2＋y2＝4a2，圆F2：（x－c）2＋y2＝a2都内切，其中0＜r＜a，则椭圆C的离心率e为（　C　）
A.12 B.34 C.104 D.154
解析　将｜PF1＋PF2｜＝｜PF1－PF2｜两边同时平方，得PF1·PF2＝0，则PF1⊥PF2.
如图，延长F1P交圆P于N，延长F2P交圆P于M，
结合已知可得｜PF1｜＝｜F1N｜－｜PN｜=2a－r｜PF2｜＝｜F2M｜－｜PM｜＝a－r，
所以｜PF1｜－｜PF2｜＝a，
由｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得｜PF1｜＝3a2，｜PF2｜＝a2.
在△PF1F2中，PF1⊥PF2可得｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，所以9a24＋a24＝4c2，所以e2＝c2a2＝58，所以e＝104.故选C.
（2）[2023西安一中调研]如图，圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形，D，E分别是AA1和BB1的中点，C是弧AB的中点，则经过C，D，E的平面与圆柱OO1侧面相交所得到的曲线的离心率是　22　.
解析　设正方形ABB1A1的边长为2，C1是弧B1A1的中点，且与C关于圆柱的中心对称，连接CC1，由题意可知，所得曲线为椭圆，
椭圆的短轴长为2，长轴长C1C＝22，所以长半轴长a＝2，短半轴长b＝1，故半焦距c=a2－b2=1，所以椭圆的离心率e＝ca＝22.
命题点2　圆锥曲线在实际生活中的应用
例3 （1）[2023高三名校联考（二）]如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后（A，F2，B三点共线），分别经过点C和点D，且cos∠BAC＝－35，AB⊥BD，则E的离心率为（　B　）

A.52 B.173 C.102 D.5
解析　如图，连接AF1，BF1，设｜AF2｜＝m，｜BF2｜＝n，由双曲线的定义可得｜AF1｜＝2a＋m，｜BF1｜＝2a＋n，由cos∠BAC＝－35，可得cos∠F1AF2＝35，在Rt△AF1B中，sin∠F1AF2＝2a＋n2a＋m＝45　①，（2a＋n）2＋（m＋n）2＝（2a＋m）2　②.
在△AF1F2中，可得4c2＝m2＋（2a＋m）2－2m（2a＋m）·35　③.
由①②可得n＝23a，m＝43a，代入③可得9c2＝17a2，则离心率e＝ca＝173.故选B.
（2）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图1所示）时，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图2所示）.已知接收天线的口径（直径）为5.2 m，深度为1 m，则该抛物线的标准方程为　y2＝6.76x　.

解析　如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上，｜AB｜＝5.2.设抛物线的标准方程为y2＝2px（p＞0），由已知条件可得，点A（1，2.6）在抛物线上，所以2p＝2.62＝6.76，所以所求抛物线的标准方程为y2＝6.76x.
训练2 [2023上海模拟]“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABFM和其上方的抛物线MOF（部分）组成，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知｜AB｜＝44 m，∠A＝45°，｜AC｜＝4 m，｜CD｜＝5 m，立柱｜DN｜＝5.55 m.

图1 图2
（1）求立柱｜CM｜及横梁｜MF｜；
（2）求抛物线MOF的方程和桥梁的拱高｜OH｜.
解析　（1）由∠A＝45°，可知｜CM｜＝｜AC｜＝4 m.
因为四边形ABFM是等腰梯形，由对称性知：｜AC｜＝｜BE｜＝4 m，
所以｜MF｜＝｜CE｜＝｜AB｜－｜AC｜－｜EB｜＝44－4－4＝36（m）.
（2）由（1）知｜CH｜＝｜AH｜－｜AC｜＝18，所以点M的横坐标为－18，
则N的横坐标为－（18－5）＝－13.
设点M，N的纵坐标分别为y1，y2，
由图形，知｜y1－y2｜＝｜5.55－4｜＝1.55.
设抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0），将点M，N的坐标代入，得（－18）2＝－2py1 ，（－13）2＝－2py2，
两式相减，得2p（y2－y1）＝182－132＝155，解得2p＝100，故抛物线的方程为x2=-100y
因此，当x＝ －18时，y＝－1100x2＝－1100×324＝－3.24，
故｜y1｜＝3.24，所以桥梁的拱高｜OH｜＝3.24＋4＝7.24（m）.

1.[命题点2/2024北京市陈经纶中学模拟]如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，｜F1B｜＝163，｜F1F2｜＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为　13　.

解析　以F1F2的中点为原点，F1F2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由BC⊥F1F2及椭圆性质可得，BC为椭圆的通径，所以｜F1B｜＝b2a＝163，｜F1F2｜＝2c＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝6，c＝2，b＝42，所以截口BAC所在椭圆的离心率为13.
2.[命题点2/2023东北三省四市联考]早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的四个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线对应的抛物线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，拱桥轮廓线OAC所在抛物线的方程为　x2=-80y　，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为　14013　.

解析　设桥拱所在抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0），由题图可知，曲线经过点C（20，－5），代入方程得202＝－2p×（－5），解得p＝40，所以桥拱所在抛物线的方程为x2＝－80y.因为四个溢流孔轮廓线对应的抛物线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线C1：（x－14）2＝－2p'y，由题图知抛物线C1经过点C（20，－5），则（20－14）2＝－2p'×（－5），解得p'＝185，所以C1：（x－14）2＝－365y，点A为桥拱所在抛物线x2＝－80y与C1：（x－14）2＝－365y的交点，设A（x，y），7＜x＜14，由x2＝－80y，（x－14）2＝－365y，7e2≤12.故选C.
2.如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5 m，水面宽｜AB｜＝30 m.若水面下降5 m，则水面宽是（结果精确到0.1 m）（参考数据：2≈1.41，5≈2.24，7≈2.65）（　B　）

A.43.8 m B.44.8 m
C.52.3 m D.53.0 m
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，其中C为顶点，D为AB的中点，MN为下降后的水面.因为拱桥是等轴双曲线，则设双曲线的方程为y2a2－x2a2＝1（a＞0），C（0，－a）.因为｜AB｜＝30，｜CD｜＝5，则B（15，－a－5），将点B坐标代入双曲线方程，可得（－a－5）2a2－152a2＝1，解得a＝20，即y2202－x2202＝1.当水面下降5 m后，纵坐标yN＝－30，代入双曲线方程可得xN＝105，所以｜MN｜＝2xN ＝205≈44.8.故选B.
3.[多选/2024江西临川一中检测]2022年卡塔尔世界杯会徽正视图（如图）近似伯努利双纽线.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（－a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线，已知点P（x0，y0）是a＝1时的双纽线C上一点，下列说法正确的是（　ABD　）
A.双纽线C是中心对称图形
B.－12≤y0≤12
C.双纽线C上满足｜PF1｜＝｜PF2｜的点有2个
D.｜PO｜的最大值为2
解析　由到定点F1（－a，0），F2（a，0）距离之积等于a2的点的轨迹称为双纽线，得双纽线C的方程为（x+1）2＋y2×（x－1）2＋y2＝1，用－x，－y替换方程中的x，y，方程不变，故双纽线C关于原点O成中心对称，故A正确；
易知｜PF1｜｜PF2｜＝1，｜F1F2｜＝2，由等面积法得12｜PF1｜·｜PF2｜·sin ∠F1PF2＝12｜F1F2｜·｜y0｜，则｜y0｜＝12·sin ∠F1PF2，所以－12≤y0≤12，故B正确；
｜PF1｜＝｜PF2｜，则（x0+1）2＋y02＝（x0－1）2＋y02，解得x0＝0，则1+y02×1+y02＝1，解得y0＝0，所以双曲线C上满足｜PF1｜＝｜PF2｜的点P有一个，故C错误；
因为PO＝12（PF1＋PF2），所以PO2=14|PF1|2+2PF1·PF2·cos ∠F1PF2+|PF2|2，由余弦定理得22＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜·cos ∠F1PF2，
所以PO2＝1＋｜PF1｜·｜PF2｜·cos ∠F1PF2＝1＋cos ∠F1PF2≤2，所以｜PO｜的最大值为2，故D正确.故选ABD.
4.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为　32　.
解析　双曲线C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±bax，
由对称性不妨取A（2pba，2pb2a2），B（－2pba，2pb2a2），C2：x2＝2py（p＞0）的焦点F（0，p2），则kAF＝2pb2a2－p22pba＝ab，即b2a2＝54，c2a2＝a2＋b2a2＝94，e＝ca＝32.
5.已知数列{an}，{bn}中各项均为正数，且{bn}是公差为2的等差数列，若点Pn（an，bn）（n∈N*）均在双曲线C：x2－y24＝1上，则an＋1－an的取值范围是　（2－1，1）　.
解析　由题可知点Pn（an，bn）在第一象限，PnPn＋1的斜率kn＝bn+1－bnan+1－an＝2an+1－an.根据双曲线的性质，知当点Pn越靠近x轴时，kn越大，点Pn越远离x轴时，kn越小.由双曲线上的两点A（1，0）和B（2，2）可得kAB＝22－1，而C的一条渐近线斜率为2，所以2＜kn＜22－1，故2－1＜an＋1－an＜1.
6.[2024江西九校联考]如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P（当成质点），篮球的影子是椭圆，篮球与桌面的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点，点P到桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e＝　79　.
解析　以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得P（0，4），R（－3，0），则直线PR的斜率kPR＝43，直线PR：4x－3y＋12＝0.设影子椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，则｜QR｜＝a－c.设篮球球心M（n，1），则椭圆焦点Q（n，0），点M到直线PR的距离d＝｜4n－3+12｜42＋（－3）2＝1，解得n＝－1（舍去）或n＝－72，则｜QR｜＝｜－72－（－3）｜＝12＝a－c.设直线PN：kx－y＋4＝0，N（xN，0），则点M（－72，1）到直线PN的距离d1＝｜－72k－1+4｜k2＋（－1）2＝1，得45k2－84k＋32＝0，Δ＞0，所以kPR·k＝3245，则k＝815，直线PN：815x－y＋4＝0，令y＝0，得xN＝－152.故2a＝｜－152－（－3）｜＝92，则a＝94，故c＝74.故椭圆的离心率e＝ca＝79.
7.[2024惠州市一调]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F（1，0），O为坐标原点，线段OA的中点为D，且｜BD｜＝｜DF｜.
（1）求C的方程；
（2）已知点M，N均在直线x＝2上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM，AN分别交椭圆C于另一点P，Q，证明：直线PQ与直线OT垂直.
解析　 （1）由题意知，椭圆C的半焦距c＝1，D（－a2，0），B（0，b），
∴｜BD｜＝a24＋b2，｜DF｜＝a2＋1，∴a24＋b2＝a2＋1，即b2＝a＋1.
又a2＝b2＋c2，∴a2－a－2＝0（a＞0），解得a＝2，故b2＝3，
∴C的方程为x24＋y23＝1.
（2）解法一　设M（2，m），N（2，n），则T（2，m＋n2），而A（－2，0），∴kAM＝m－02－（－2）＝m4，则直线AM：y＝m4（x＋2）.
联立得x24＋y23=1，y＝m4（x+2),整理得（m2＋12）x2＋4m2x＋4m2－48＝0，Δ＞0.
设P（x1，y1则由根与系数的关系得，x1－2＝－4m2m2+12，
∴x1＝2（12－m2）m2+12，则y1＝12mm2+12.
设Q（x2，y2），同理可得，x2＝2（12－n2）n2+12，则y2＝12nn2+12.
∴kPQ＝y1－y2x1－x2＝6（mn－12)(n－m）24（n2－m2）＝mn－124（n＋m）.
如图，连接OM，ON，∵MN为直径，∴OM⊥ON，∴kOM·kON＝－1，即m2·n2＝－1，∴mn＝－4，
∴kPQ＝－4n＋m，
而kOT＝n＋m4，
∴kPQ·kOT＝－1，则直线PQ与直线OT垂直，得证.
解法二　设M（2，m），N（2，n），则T（2，m＋n2）.
如解法一图，连接OM，ON，∵MN为直径，∴OM⊥ON，即OM·ON＝0，即4＋mn＝0.
∵A（－2，0），∴kAM＝m－02－（－2）＝m4，
则直线AM：y＝m4（x＋2）.
联立得x24＋y23=1，y＝m4（x+2),整理得（m2＋12）x2＋4m2x＋4m2－48＝0，Δ＞0.
设P（x1，y1），则由根与系数的关系得，x1－2＝－4m2m2+12，
∴x1＝2（12－m2）m2+12，则y1＝12mm2+12，
∴P（2（12－m2）m2+12，12mm2+12），
同理得Q（2（12－n2）n2+12，12nn2+12）.∴PQ＝（2（12－n2）n212－2（12－m2）m2+12，12nn2+12－12mm2+12），
又OT＝（2，m＋n2），
∴PQ·OT＝4（12－n2）n2＋12－4（12－m2）m2+12＋6mnn2+12＋6n2n2+12－6m2m2+12－6mnm2+12＝24+2n2n2+12－24+2m2m2+12＝2－2＝0.
∴PQ⊥OT，即PQ⊥OT，得证.
8.[2023陕西模拟]已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
（1）求双曲线C2的标准方程；
（2）若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB＞2（其中O为坐标原点），求实数k的取值范围.
解析　（1）设双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），半焦距为c，则a2＝3，c2＝4.
由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的标准方程为x23－y2＝1.
（2）由y＝kx＋2，x23－y2=1，得（1－3k2）x2－62kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得1－3k2≠0，Δ＝（－62k）2+36（1－3k2）=36（1－k2）>0，
所以k2≠13且k2＜1.　①
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝62k1－3k2，x1x2＝－91－3k2，
所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋2）·（kx2＋2）＝（k2＋1）x1x2＋2k（x1＋x2）＋2＝3k2+73k2－1.
由OA·OB＞2，得3k2+73k2－1＞2，解得13＜k2＜3.　②
由①②得13＜k2＜1，则－1＜k＜－33或33＜k＜1，
即实数k的取值范围为（－1，－33）∪（33，1）.
9.[情境创新/2023济南模拟]已知抛物线H：x2＝2py（p＞0）.
（1）若直线l：y＝kx－2pk＋2p与H只有一个公共点，求k.
（2）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线.法国数学家保尔·德·卡斯特里奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了德卡斯特里奥算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出抛物线；反之，已知过抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论.如图，A，B，C是H上不同的三点，在三点处的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：｜AD｜｜DE｜＝｜EF｜｜FC｜＝｜DB｜｜BF｜.
解析　（1）将y＝kx－2pk＋2p代入x2＝2py，化简得x2－2pkx＋4p2（k－1）＝0　（*），
则方程（*）的根的判别式Δ＝4p2k2－4（4p2k－4p2）＝0，
化简得k2－4k＋4＝0，
即k＝2.
（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），E（xE，yE），F（xF，yF），
则抛物线x2＝2py在点A，B，C处的切线方程分别为2py＝2xAx－xA2，2py＝2xBx－xB2，2py＝2xCx－xC2，
两两联立，可以求得交点D，E，F的横坐标，则xD＝xA＋xB2，xE＝xA＋xC2，xF＝xB＋xC2，
得｜AD｜｜DE｜＝｜xD－xA｜｜xE－xD｜＝｜xA＋xB2－xA｜｜xA＋xC2－xA＋xB2｜＝｜xB－xA｜｜xC－xB｜，
同理得，｜EF｜｜FC｜＝｜xB－xA｜｜xC－xB｜，｜DB｜｜BF｜＝｜xB－xA｜｜xC－xB｜.
所以｜AD｜｜DE｜＝｜EF｜｜FC｜＝｜DB｜｜BF｜，命题得证.