2020北京高三二模数学汇编：函数概念与性质.docx

2020北京高三二模数学汇编
函数概念与性质
一、单选题
1．（2020·北京朝阳·二模）函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
2．（2020·北京朝阳·二模）设函数的定义域为D，如果对任意，都存在唯一的，使得（m为常数）成立，那么称函数在D上具有性质业．现有函数：
①;       ②;       ③;       ④．
其中，在其定义域上具有性质中．的函数的序号是（       ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
3．（2020·北京海淀·二模）下列函数中，值域为且为偶函数的是（       ）
A． B． C． D．
4．（2020·北京西城·二模）下列函数中，值域为且区间上单调递增的是（       ）
A． B． C． D．
5．（2020·北京东城·二模）已知三个函数y=x3，y=3x，，则
A．定义域都为R B．值域都为R
C．在其定义域上都是增函数 D．都是奇函数
6．（2020·北京顺义·二模）已知函数，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
7．（2020·北京·二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，经过分钟后物体的温度℃可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数．现有℃的物体，放在℃的空气中冷却，分钟以后物体的温度是℃，则约等于（参考数据：）（       ）
A． B．
C． D．
8．（2020·北京·二模）已知函数，则（       ）
A．是奇函数，且在上是增函数
B．是奇函数，且在上是减函数
C．是偶函数，且在上是增函数
D．是偶函数，且在上是减函数
9．（2020·北京平谷·二模）在下列函数中，值域为的偶函数是（       ）
A． B．
C． D．
10．（2020·北京平谷·二模）已知，且则（       ）
A． B．
C． D．

参考答案
1．B【解析】令且即可求解.
【详解】由题意得：得且，
所以函数的定义域为，
故选：B

【点睛】本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题.
2．A【解析】对各个选项分别加以判断：根据性质的函数定义，列出方程可以解出关于表达式且情况唯一的选项是①和④，而②和③通过解方程发现不符合这个定义，从而得到正确答案.
【详解】①的定义域为，函数的值域为，对任意，都存在唯一的，对于任意的，使得（m为常数）恒成立，其定义域上具有性质的函数；
②的定义域为，函数的值域为，对任意，都存在唯一的，使得（m为常数）不恒成立，例如，，不存在唯一的，
故②不是定义域上具有性质的函数；
③定义域为，值域为，而且是单调递增函数，所以对任意，都存在唯一的，对于任意的，使得（m为常数）恒成立，，其定义域上具有性质的函数；
④定义域为，函数的值域为，不是单调函数，是周期函数，对任意，都存在，使得（m为常数）恒成立，但不唯一，所以在其定义域上不具有性质的函数；
所以①和③是定义域上具有性质的函数；
故选：A
【点睛】本题利用新定义考查函数的性质，解题的关键是正确理解定义域上具有性质的含义，属于中档题.
3．A【分析】根据函数值域，以及函数奇偶性，逐项判断，即可得出结果.
【详解】对于A，由可得函数为偶函数，且的值域为，故A正确；
对于B，由可得为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，函数的值域为，故C错误；
对于D，函数的值域为，故D错误.
故选：A.
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与值域确定解析式，属于常考题型.
4．B【分析】求出各选项中函数的值域，并判断出各函数在区间上的单调性，由此可得出结论.
【详解】对于A选项，函数的值域为且区间上单调递减；
对于B选项，，当时，；当时，.
所以，函数的值域为，且在区间上单调递增；
对于C选项，函数的值域为，且在区间上单调递减；
对于D选项，函数的值域为，且在区间上单调递增.
故选：B.
【点睛】本题考查基本初等函数值域的求解，同时也考查了函数单调性的判断，考查推理能力，属于基础题.
5．C【分析】根据各选项性质对每个函数进行判断，
【详解】函数的定义域为（0，+∞），即A错误；
函数y=3x的值域是（0，+∞），即B错误；
函数y=3x和是非奇非偶函数，即D错误，
三个函数在定义域内都是增函数，只有C正确．
故选：C.
【点睛】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的性质，掌握三个基本初等函数的性质是解题基础．
6．D【解析】先求出，进而可知，由，可知区间，且该区间长度为2，然后画出函数的图象，进而可得到在上的图象，结合图象可求得在区间上的最大值的取值范围.
【详解】由题意，当时，；当时，；当时，.
所以，则，
因为，所以区间，且该区间长度为2.
作出函数的图象，如图1，进而可得到在上的图象，如图2，
根据图象可知在区间上的最大值的取值范围是.
故选：D.

【点睛】本题考查函数图象的应用，考查分段函数的性质，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.
7．D【分析】℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，由此能求出的值．
【详解】由题知，℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，
，得.
故选:D
【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查了学生的阅读理解能力和运算求解能力.
8．C【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.
【详解】
，
是偶函数；
当时，，
设，则在上单增，
又为增函数，所以在上单增，
是偶函数且在上是增函数.
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数）.
9．B【分析】通过函数的奇偶性和值域对选项进行排除，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，故为非奇非偶函数，不符合题意.
对于B选项，的定义域为，且，所以为偶函数，由于，所以的值域为，符合题意.
对于C选项，，故的值域不为.
对于D选项，的定义域为，且，所以为奇函数，不符合题意.
故选：B
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和值域，属于基础题.
10．C【分析】利用特殊值排除错误选项，利用函数的单调性证明正确选项.
【详解】取，则，所以A选项错误.
取，则，所以B选项错误.
由于在上递减，而，所以，故C选项正确.
取，则，所以D选项错误.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查比较大小，属于基础题.
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