2018北京西城初三二模数学(教师版).doc

2018北京西城初三二模
数 学 2018.5
1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。
考 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和学号。
生 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
须 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
知 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段CD的长度
2. 将某不等式组的解集≤x3表示在数轴上，下列表示正确的是

3. 下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
4.下列实数中，在2和3之间的是
A． B． C． D．
5. 一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90°，∠A = 45°， ∠E = 60°，点F在CB的延长线上.若DE∥CF，则∠BDF等于
A．35° B．30°
C．25° D．15°
6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距
离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF.观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是
A． B．
C． D．
7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：
选手
1

2
3
4
5
6
7
8
9
10
时间(min)
129
136
140
145
146
148
154
158
165
175
由此所得的以下推断不正确的是
A．这组样本数据的平均数超过130
B．这组样本数据的中位数是147
C．在这次比赛中，估计成绩为130 min的选手的成绩会比平均成绩差
D．在这次比赛中，估计成绩为142 min的选手，会比一半以上的选手成绩要好
8．如图1所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s和v(m/s)，起初甲车在乙车前a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x(s)后两车相距y(m)，y与x的函数关系如图2所示．有以下
结论：
①图1中a的值为500；
②乙车的速度为35 m/s；
③图1中线段EF应表示为；
④图2中函数图象与x轴交点的横坐标为100．
其中所有的正确结论是
A．①④ B．②③
C．①②④ D．①③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如果有意义，那么x的取值范围是 ．
10.不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为 ．
11. 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中
阴影部分的面积等于 ．
12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的
“最强大脑”大赛，准备购买A，B两款魔方.社长发现
若购买2个A款魔方和6个B款魔方共需170元，购买
A款 B款
3个A款魔方和购买8个B款魔方所需费用相同. 求每
款魔方的单价.设A款魔方的单价为x元，B款魔方的单
价为y元，依题意可列方程组为 .
13. 如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH. 若AB=8，AD=6，则四边形EFGH的周长等于 ．
14.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线平移后得到抛物线.请你写出一种平移方法. 答： .
15. 如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，弦BD∥OC.
若，则∠DOC= ．

16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，，，边AD长为5. 现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C的对应点的坐标为 .

三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）
17．计算：．

18．解方程：.

19. 如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，，，BC= AD，求∠C的度数．

20.先化简，再求值：，其中．

21.如图，在Rt△ABC中，，CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，BE=CD，连接CE，DE．
（1）求证：四边形CDBE为矩形；
（2）若AC=2，，求DE的长．

22.阅读下列材料：
材料一：
早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.
材料二：
以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.
年度
2013
2014
2015
2016
2017
参观人数（人次）
7 450 000
7 630 000
7 290 000
7 550 000
8 060 000
年增长率（%）
38.7
2.4
-4.5
3.6
6.8
他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.

根据以上信息解决下列问题：
（1）补全以下两个统计图；
（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.

23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（）的图象经过点，AB⊥x轴于点B，点C与点A关于原点O对称， CD⊥x轴于点D，△ABD的面积为8.
（1）求m，n的值；
（2）若直线（k≠0）经过点C，且与x轴，y轴的交点分别为点E，F，当时，求点F的坐标．

24．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G.
1）求证：FG与⊙O相切；
（2）连接EF，求的值.

25.阅读下面材料：
已知：如图，在正方形ABCD中，边.

按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.

请解决以下问题：
（1）完成表格中的填空：
① ；② ；
③ ；④ ；
（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ（不要求尺规作图）.
26. 抛物线M： (a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D.
（1）抛物线M的对称轴是直线____________；
（2）当AB=2时，求抛物线M的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，直线l：(k≠0)经过抛物线的顶点D，直线与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为，，直线与直线l的交点的横坐标记为（），若当≤n≤时，总有，请结合函数的图象，直接写出k的取值范围.

27. 如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α
（0°＜α＜60°且α≠30°）.
（1）当0°＜α＜30°时，
①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；
②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；
（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.

图1 备用图

28. 对于平面直角坐标系xOy中的点（x≠0），将它的纵坐标y与横坐标x的比 称为点Q的“理想值”，记作.如的“理想值”.
（1）①若点在直线上，则点Q的“理想值”等于_________；
②如图，，⊙C的半径为1. 若点Q在⊙C上，则点Q的“理想值”的取值范围是 .
（2）点D在直线上，⊙D的半径为1，点Q在⊙D上运动时都有
0≤LQ≤，求点D的横坐标的取值范围；
（3）（m＞0），Q是以r为半径的⊙M上任意一点，当0≤LQ≤时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）

参考答案
一、 选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
C
D
B
C
A
二、 填空题（本题共16分，每小题2分）
9. x≤2． 10. ． 11. . 12. 13. 20.
14.答案不唯一，例如，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线.
15. 54． 16. ．
三、解答题（本题共68分，第17~21题每小题5分，第22、23题每小题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）
17.解：
……………………………………………………… 4分

． ……………………………………………………………………………5分
18．解方程：.
解：去分母，得．……………………………………………………… 1分
去括号，得． ……………………………………………………… 2分
移项，得 ．
合并同类项，得 ．………………………………………………………… 3分
系数化为1，得．…………………………………………………………… 4分
经检验，原方程的解为．……………………………………………………5分
19. 解：如图1，连接BD.
∵ E为AB的中点，DE⊥AB于点E，
∴ AD= BD， …………………………………………… 1分
∴ ．
∵ ，
∴ ．………………………………………………2分
∵ ，
图1
∴ ． …………………………… 3分
∵ AD=BC，
∴ BD=BC．…………………………………………………………………………4分
∴ ．
∴ ． …………………………………………………… 5分
20.解：
………………………………………………………………… 3分
．……………………………………………………………………………… 4分
当时，原式．……………………………………………………………5分
21. （1）证明：如图2.
∵ CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，
∴ ．
∴ CD∥BE．………………………………… 1分
图2
又∵ BE=CD，
∴ 四边形CDBE为平行四边形．……………2分
又∵，
∴ 四边形CDBE为矩形． ……………………………………………… 3分
（2）解：∵ 四边形CDBE为矩形，
∴ DE=BC．………………………………………………………………… 4分
∵ 在Rt△ABC中，，CD⊥AB，
可得 ．
∵ ，
∴ ．
∵ 在Rt△ABC中，，AC=2，，
∴ ．
∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分
22.解：（1）补全统计图如图3.
图3
…………………… 4分图3

（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可． ……………………… 6分
23. 解：（1）如图4.
∵ 点A的坐标为，点C与点A关于原点O对称，
∴ 点C的坐标为．
∵ AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，
∴ B，D两点的坐标分别为，．
∵ △ABD的面积为8，，
∴ ．
解得 ． …………………………………………………………… 2分
∵ 函数（）的图象经过点，
∴ ．…………………………………………………………… 3分
（2）由（1）得点C的坐标为．
① 如图4，当时，设直线与x轴，
y轴的交点分别为点，．
由 CD⊥x轴于点D可得CD∥．
∴ △CD∽△O．
∴ ．
图4
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 点的坐标为．
②如图5，当时，设直线与x轴，y轴的交点分别为
点，．
同理可得CD∥，．
∵ ，
∴ 为线段的中点，．
∴ ．
∴ 点的坐标为．…………6分
图5
综上所述，点F的坐标为，．
24. （1）证明：如图6，连接OC，AC.
∵ AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴ CE=DE，AD=AC.
∵ DC=AD，
∴ DC=AD= AC.
图6
∴ △ACD为等边三角形．
∴ ∠D =∠DCA=∠DAC =60°．
∴ ．
∵ FG∥DA，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ FG⊥OC．
∴ FG与⊙O相切．……………………………………………………… 3分
（2）解：如图6，作EH⊥FG于点H．
设CE= a，则DE= a，AD=2a．
∵ AF与⊙O相切，
∴ AF⊥AG．
又∵ DC⊥AG，
可得AF∥DC．
又∵ FG∥DA，
∴ 四边形AFCD为平行四边形．
∵ DC =AD，AD=2a，
∴ 四边形AFCD为菱形．
∴ AF=FC=AD=2 a，∠AFC=∠D = 60°．
由（1）得∠DCG= 60°，，．
∴ ．
∵ 在Rt△EFH中，∠EHF= 90°，
∴ ． …………………………………… 5分
25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分
②．………………… 2分
③．…………………3分
④．……………… 4分
（2）所画正方形CHIJ见图7. 图7
……………………………6分
26.解：如图8.
（1）.…………………………… 1分
（2）∵ 抛物线 的对称轴为直线，抛物线M与x轴的
交点为点A，B（点A在点B左侧），AB=2，
∴ A，B两点的坐标分别为，.……………………………… 2分
∵ 点A在抛物线M上，
∴ 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得.
解得 . ………………………………………………………………… 3分
∴ 抛物线M的函数表达式为. ………………………… 4分
图8
（3）. …………………… 6分
27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，
①画出的图形如图9所示．…………… 1分
∵ △ABC为等边三角形，
∴ ∠ABC=60°．
∵ CD为等边三角形的中线，
Q为线段CD上的点，
由等边三角形的对称性得QA=QB．
∵ ∠DAQ=α，
图9
∴ ∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．
∵ 线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，
∴ QE = QA．
∴ QB=QE．
可得 ．……… 2分
②．……………………………………………………… 3分
证法一：如图10，延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H．
∵ ∠BQE=60°+2α，点E在BC上，
∴ ∠QEC=∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．
∵ 点F在CA的延长线上，∠DAQ=α，
∴ ∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．
∴ ∠QAF=∠QEC．
又∵ AF =CE，QA=QE，
∴ △QAF≌△QEC．
∴ QF=QC．
∵ QH⊥AC于点H，
图10
∴ FH=CH，CF=2CH．
∵ 在等边三角形ABC中，CD为中线，
点Q在CD上，
∴ ∠ACQ==30°，
即△QCF为底角为30°的等腰三角形．
∴ ．
∴ ．
即． ………………………………………… 6分
思路二：如图11，延长CB到点G，使得BG=CE，连接QG，可得
△QBG≌△QEC，△QCG为底角为30°的等腰三角形，与证法一
同理可得．

图11 图12

（2）如图12，当30°＜α＜60°时，．………………………… 7分
28.解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分
② 0≤≤．……………………………………………………………… 2分
（2）设直线与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，可得，．
∴ ，，．
由0≤≤，作直线．
①如图13，当⊙D与x轴相切时，相应的圆心满足题意，其横坐标取到最大值．作轴于点，
可得∥OB，．
∵ ⊙D的半径为1，
图13
∴ ．
∴ ，．
∴ ．
②如图14，当⊙D与直线相切时，
相应的圆心满足题意，其横坐标取到
最小值．
图14
作轴于点，则⊥OA．
设直线与直线的
交点为F．
可得，OF⊥AB．
则．
∵ ⊙D的半径为1，
∴ ．
∴ ．
图15
∴ ，
．
∴ ．
由①②可得，的取值范围是≤≤．
………………………………………… 5分
（3）画图见图15．
．…………………………………………… 7分
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