北师版数学八年级上册-5-8--三元一次方程组.docx

5.8三元一次方程组
教学目标
【知识与技能】
1.理解三元一次方程和三元一次方程组的概念.
2.会解简单的三元一次方程组.
3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元和一元的化归思想.
【过程与方法】
通过三元一次方程组的解法练习,培养学生的分析能力,能根据题目的特点,确定消元方法、消元对象.培养学生的计算能力、训练解题技巧.
【情感态度价值观】
让学生通过自己的探索、尝试、比较等活动去发现一些规律,体会一些数学思想,从而激发学生的求知欲望和学习兴趣.
教学重难点
【教学重点】
使学生会解简单的三元一次方程组,经过本课教学,进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等解方程组.
【教学难点】
针对方程组的特点,选择最佳的消元方法.
课前准备
【教师准备】预想学生在解三元一次方程组过程中存在的困难.
【学生准备】总结、回忆解二元一次方程组的方法.
教学过程
一、导入新课
导入一:有甲、乙、丙三种货物,若购进甲3件、乙7件、丙1件,共需3.15元;若购进甲4件、乙10件、丙1件,共需4.20元.现在购进甲、乙、丙各1件,共需多少钱?
[处理方式]　想一想,如何列方程组解决实际问题,让学生在回顾二元一次方程组应用的基础上列出方程组,这里有三个要求的量,怎么办?学生预设直接设单价分别为x,y,z元,用它们可以表示哪些等量关系?顺理成章,直截了当,容易理解.
解:设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x元,y元,z元.
根据题意得3x+7y+z=3.15,①4x+10y+z=4.20.②
这是一个一次方程组,这里有几个未知数?
怎样解这个方程组呢?
(板书课题:8　三元一次方程组)
今天,我们就一起来研究如何解三元一次方程组.
导入二:[过渡语]　为了创建省级文明城市,我校参加区中学生运动会的有28名运动员,其中男运动员比女运动员的2倍多4人,求男、女运动员各多少人.、
[处理方式]　在多媒体上展示,让学生说出如何解、设、列出方程组,也是对二元一次方程组的回顾.实际上,有不少问题中会含有更多的未知数,对于这样的问题,我们将如何来解决呢?(板书课题)
出示教材引例:
已知甲、乙、丙三数的和是23,甲数比乙数大1,甲数的2倍与乙数的和比丙数大20,求这三个数.
[处理方式]　让学生在回顾二元一次方程组应用的基础上列出方程组,这里有三个要求的量,直接设这三数分别为x,y,z,用它们可以表示哪些等量关系?顺理成章,直截了当,容易理解.
[设计意图]　在二元一次方程组的基础上,让学生理解这个方程组和前面学过的二元一次方程组的区别和联系,未知数个数和方程都比二元一次方程组多一个,所含未知数的项的次数都是一次.
二、 新知构建
[过渡语]　什么是三元一次方程及三元一次方程组呢?
(1)、三元一次方程及三元一次方程组
思路一:[过渡语]　请同学们想一想,通过观察,方程所含未知数的个数及次数与之前所学的方程组有何区别?用自己的语言叙述规律.在这个方程组中,x+y+z=23和2x+y-z=20都含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做三元一次方程.像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,叫做三元一次方程组.
三元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个三元一次方程组的解.
[处理方式]　鼓励学生进行大胆的发现,用比较发现的方法总结相关结论.在活动中让学生发现不同,得出相关结论,尽量由学生归纳得出,教师可以给予适当的指导.对定义的理解给学生留足时间
[设计意图]　通过创设问题情境,引入新课,使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题,强调审题时抓住的三个等量关系,从而表示成以上三个方程,这个问题的解答必须同时满足这三个条件,因此,把这三个方程联立起来,成为x+y+z=23,2x+y−z=20,x−y=1,引出三元一次方程组的概念.
思路二:出示下列问题:
有人问甲、乙、丙三人的年龄.甲说:“我们三个人的年龄之和为23.”丙说:“甲的年龄比乙大1岁,甲年龄的2倍与乙年龄的和比丙大20岁.”聪明的你能算出甲、乙、丙的年龄各是多少吗?
师:我们先尝试下设3个未知数怎么解决这个问题.
解:设甲的年龄为x岁,乙的年龄为y岁,丙的年龄为z岁,
根据题意得x+y+z=23,x−y=1,2x+y−z=20.
在老师的引导下,让学生认真观察这三个方程的特点,给此方程组下一个定义.
师:出示三元一次方程组的概念:
这种由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组.
提示三元一次方程组与一元一次方程及二元一次方程组的关系.

(2)、三元一次方程组的解法
引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本思想——消元,以及消元的基本方法(代入消元、加减消元),尝试对x+y+z=23,①2x+y−z=20,②x−y=1③　进行消元,从而解决教材引例.
步骤(1):选取一种方法解此三元一次方程组,由学生独立思考解决,教师注意规范板书.
步骤(2):在学生独立选择方法解决的基础上,引导学生进行比较:在解三元一次方程组时的消元与解二元一次方程组时的消元有什么不同?解上面的方程组时,你能先消去未知数y(或z),从而得到方程组的解吗?
[处理方式]　先让学生独立思考,然后在学生充分思考的前提下,进行小组讨论,在此基础上由学生代表回答,老师适时地引导与补充,力求通过学生观察、思考与讨论后能得出要点,教师板书用代入法消元的求解过程,强调解题的格式.(多媒体展示解题方法及过程)
[设计意图]　让学生体会将三元转化成二元的消元思路,尝试用代入或加减的消元方法来解决.
(3)、自主探究
1.三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行.
2.用代入消元法:由于方程组中③式的特点,可将③式分别代入①,②式,消去x,从而转化为关于y,z的二元一次方程组再求解.
3.用加减消元法:由于③式中没有含z,可以将①,②式联立相加,消掉z,从而转化为关于x,y的二元一次方程组再求解.
4.总结求解三元一次方程组的整体思路——消元,实现三元→二元→一元的转化.在消元过程中,消“谁”都行,用哪种消元方法(代入法、加减法)均可,但如果选择方法合适,可提高计算的效率.
[处理方式]给学生留3分钟的时间交流,比较一下两种方法的特点,针对不同的方程组,先分析其特点,再选取消元法.
[设计意图]想让学生深刻理解代入消元法和加减消元法的特点,在解题时直接选对方法,少走弯路,提高解题效率.
(4)、跟踪训练
解方程.(1)x+y+z=26,①2x−y+z=18,②x−y=18.③ (2)x+y+z=10,①2x+3y+z=17,②3x+2y−z=8.③
[处理方式]方程组(1)是在课本例题的基础上,改变数据所得,因为本题的意图是让学生模仿老师的做法自行操作的题,所以尽量让各项系数简单一些,让学生练习时感觉愉悦一些.方程组(2)是三个方程均含有三个未知数的三元一次方程组,和学生一起探求出解决的整体思路.然后让学生自行求解,使其进一步理解三元一次方程组的求解方法,培养计算能力.
[设计意图]结合新课导入二中列出的方程组,类比前面所学二元一次方程组的解法,得到解三元一次方程组的整体思路——消元,并找出相应的消元方法.求解完后引导学生总结三元一次方程组的求解思路:三元→二元→一元,关键在于消元.
[知识拓展]1.三元一次方程组中一共含有三个未知数,并不一定每个方程都含有三个未知数.
2. 三元一次方程组与二元一次方程组有很多类似的地方,学习时可运用类比的思想方法比较三元一次方程组与二元一次方程组有关概念的相同点和不同点,这样不仅能加深对概念的理解,还能提高对“元”和“次”的认识,而且可以逐步提高类比分析和归纳概括的能力.
三、课堂总结

四、课堂练习
1.下列方程组不是三元一次方程组的是 (　　)
A.x+y=12y+z=−23y=6 B.x2−4=0y+1=xxy−z=−3C.x=22y=−3x−z=1 D.y−x=−1x+z=32y−z=0
解析:由题意知含有三个不同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1次,并且一共有三个方程,这样的方程组叫做三元一次方程组.A.满足三元一次方程组的定义,故A选项错误;B.x2-4=0,未知数x的次数为2次,∴不是三元一次方程,故B选项正确;C.满足三元一次方程组的定义,故C选项错误;D.满足三元一次方程组的定义,故D选项错误.故选B.
2.三元一次方程组x+y=1,①y+z=5,②z+x=6③的解是 　　)
A.x=1y=0z=5 B.x=1y=2z=4C.x=1y=0z=4 D.x=4y=1z=0
解析:由②得y=5-z,④　由③得x=6-z,⑤　将④和⑤代入①,得11-2z=1,∴z=5,∴x=1,y=0,∴方程组的解为x=1,y=0,z=5.故选A.
3.解三元一次方程组3x−y+z=4,①2x+3y−z=12,②x+y+z=6.③
解析:因为三个方程中z的系数相同或互为相反数,所以应用加减法来解.
解:①+②得5x+2y=16,④
③+②得3x+4y=18,⑤
得方程组5x+2y=16,3x+4y=18,
解得x=2,y=3.
代入③得2+3+z=6,
∴z=1.
∴方程组的解为x=2,y=3,z=1.

五、板书设计
8　三元一次方程组
一、三元一次方程及三元一次方程组
二、三元一次方程组的解法
三、自主探究
四、跟踪训练
六、布置作业
①、教材作业
【必做题】教材习题5.9第1,2题.
【选做题】教材习题5.9第4题.
②、课后作业
【基础巩固】
1.方程组z=x+y,2x−3y+2z=5,x+2y−z=3的解是 (　　)

A.x=3y=2z=5 B.x=4y=3z=7C.x=2y=3z=5 D.x=2y=2z=3
2.解方程组x−z=4,①2y−z=1,②x+y−z=−1③　最简便的方法是 (　　)
A.直接用代入法消去xB.先用③-①消去x,z
C.用①-②,②-③先消去zD.先用2×③-②消去y
3.解方程组3x−y+2z=3,2x+y−4z=11,7x+y−5z=1,若要使运算简便,消元的方法应选取 (　　)
A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不对
4.解下列方程组.
(1)3x−y+2z=3,2x+y−3z=11,x+y+z=12. (2)2x+4y−3z=9,3x−2y−4z=8,5x−6y−5z=7.
【能力提升】5.设“●”“■”“▲”表示三种不同的物体,现用天平称了三次,如下图所示,那么这三种物体的质量分别是
　　　　. 

6. 甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2倍比乙数大5,乙数的13等于丙数的12.求这三个数.

7. 某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景.甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成,乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成,丙种盆景由10朵红花,18朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900朵红花、3750朵紫花,则黄花一共用了多少朵?

【拓展探究】8.为了组织一个50人的旅游团开展“乡间民俗游”活动,旅游团住村民家,住宿客房有三人间、二人间、单人间三种,收费标准是三人间每人每晚20元,二人间每人每晚30元,单人间每人每晚50元,旅游团共住20间客房(每间都住满),旅游团如何安排住宿才能够使得住宿费用最低?并说明理由.

【答案与解析】
1.C(解析:代入方程组,能使方程组中每个方程都成立的就是方程组的解.)
2.B(解析:①和③中x,z的系数正好都相同,相减可做到“一箭双雕”.)
3.B(解析:y的系数最简单而且绝对值相等.)
4.提示:(1)x=3,y=8,z=1.　(2)x=−1,y=12,z=−3.
5.34 g,28 g,8 g(解析:设“●”“■”“▲”的质量分别为x g,y g,z g,依三个图中的信息列出三元一次方程组x+2z=50,x+y+z=70,x+y+zx+36,求解即可.)
6.解:设甲、乙、丙三个数分别为x,y,z,依题意得x+y+z=35,2x−y=5,y3=z2,解得x=10,y=15,z=10.故甲、乙、丙三个数分别为10,15,10.
7.解:设步行街摆放甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆,y盆,z盆.由题意,得15x+10y+10z=2900,①25x+25z=3750.②　由①得3x+2y+2z=580,③　由②得x+z=150,④　把④代入③,得x+2y=280,所以2y=280-x,⑤　由④得z=150-x,⑥　所以4x+2y+3z=4x+(280-x)+3(150-x)=730,所以黄花一共用了24x+12y+18z=6(4x+2y+3z)=6×730=4380(朵).答:黄花一共用了4380朵.
8.解:设三人间、二人间、单人间分别住了x,y,z间,其中x,y,z都是自然数,总的住宿费为W元.则x+y+z=20,3x+2y+z=50,解得x=10+z,y=10−2z.因为x,y,z都是自然数,所以x=10,y=10,z=0或x=11,y=8,z=1或x=12,y=6,z=2或x=13,y=4,z=3或x=14,y=2,z=4或x=15,y=0,z=5.由题知W=20x+30y+50z=500+10z,所以z越小,W越小,所以当z=0,即x=10,y=10,z=0时,住宿的总费用最低,为500+10×0=500(元).

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