2020北京重点校初二(上)期中数学汇编：一元二次方程章节综合.docx

2020北京重点校初二（上）期中数学汇编
一元二次方程章节综合
一、单选题
1．（2020·北京市文汇中学八年级期中）如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实根．那么以下结论正确的是（ ）
A．k＞l B．k＝﹣1 C．k≥﹣1 D．k＜﹣1
2．（2020·北京市文汇中学八年级期中）是关于的一元一次方程的解，则（ ）
A． B． C．4 D．
3．（2020·北京市文汇中学八年级期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2020·北京·北师大二附中海淀学校八年级期中）若一元二次方程有一个根为，则．
5．（2020·北京市文汇中学八年级期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值为_____．
三、解答题
6．（2020·北京·汇文中学八年级期中）阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．
又因为，所以关于的方程有两个解，分别为．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解分别为，则＝_____；＝________；
（2）方程的两个解中较大的一个为_______；
（3）关于的方程的两个解分别为，则＝_____，＝_____．
7．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”.
（1）试分析28是否为“神秘数”；
（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真、假，并说明理由．

①小能发现：两个连续偶数2k＋2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”也是4的倍数．
②小仁发现：2016是“神秘数”．
8．（2020·北京市文汇中学八年级期中）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
9．（2020·北京·北京市文汇中学八年级期中）解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
10．（2020·北京·北京市文汇中学八年级期中）已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+＝0 有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k取最小整数时，求此时方程的解．
参考答案
1．C
【分析】
根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】
由题意知△＝(-2)²﹣4×1×(-k)≥0，
解得：k≥-1，
故选：C．
【点精】
本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
2．A
【分析】
先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值
【详解】
将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，
得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.
故选A.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键
3．A
【分析】
根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】
一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数-4，常数项-5．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4．-1
【分析】
把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0，解得k的值．
【详解】
解：把x=0代入一元二次方程（k-1）x2+3x+k2-1=0，
得k2-1=0，
解得k=-1或1；
又k-1≠0，
即k≠1；
所以k=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
5．﹣1．
【分析】
根据一元二次方程的定义得到m-1≠0；根据方程的解的定义得到m2-1=0，由此可以求得m的值．
【详解】
解：把x＝0代入（m﹣1）x2+xm2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m=±1，
而m﹣1≠0，
所以m＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不为零．
6．（1）－4，3；（2）3；（3）
【分析】
（1）根据定义得到p=，q=，然后代入即可求解；
（2）方程的两个解根据公式可以解出；
（3）要将原式构造成题目中的形式，首先将方程左右两端+1，将右端变形为，然后将当做题目中的x，整体代入求解，最后解两个一元一次方程即可．
【详解】
（1）由题意得：p=，q=
∵方程的解为
∴p=，q=；
（2）由题意得：，
∴，解得或3
∴当时，；当时，
∴较大的解为3
（3）∵
∴
∴
∴或
∴或
∵
∴．
【点睛】
此题涉及的知识点是分式的综合应用，解一元二次方程，整体代入法解方程，难度较大，解题时先搞清楚规律，把握已知的结论是解本题的关键．
7．（1）28是“神秘数”（2）①是4的倍数，且是奇数倍②2016不是“神秘数”
【分析】
（1）根据题意设未知数x，列出对应方程x2－(x－2)2＝28，求解即可.
（2）根据小能的发现列式：(2k＋2)2－(2k)2化简，观察化简后的式子是否为4的倍数即可检验真假；根据小仁的发现列式：y2－(y－2)2＝2 016求解，根据所得解即可检验真假
【详解】
(1)若28都是“神秘数”，设28是由x和x－2两数的平方差得到的
则x2－(x－2)2＝28，解得：x＝8，
∴x－2＝6，
即28＝82－62，28是“神秘数”
(2)① (2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)，
∴由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍
或②设2 016是由y和y－2两数的平方差得到的，
则y2－(y－2)2＝2 016，
解得：y＝505不是偶数，
∴2 016不是“神秘数”.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，解题关键在于根据关系列出一元二次方程.
8．（1）x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2；（2）x1＝3，x2＝9．
【分析】
（1）利用配方法求解比较简单；
（2）利用因式分解法求解比较简单．
【详解】
（1）∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x+4＝5，
∴（x+2）2＝5，
∴x+2＝±，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2；
（2）∵2（x﹣3）2＝x2﹣9．
∴2（x﹣3）2﹣（x2﹣9）＝0，
∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，
∴x﹣3）（x﹣9）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣9＝0，
∴x1＝3，x2＝9．
【点睛】
本题考查解一元二次方程中的因式分解法和配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
9．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）利用直接开方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）利用配方法解方程即可；
（4）结合提取公因式、因式分解法解方程即可．
【详解】
（1）

即；
（2）

或
；
（3）

；
（4）

或
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，主要解法包括：直接开方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟记各解法是解题关键．
10．(1)k＞﹣；(2)x1＝0，x2＝﹣1．
【分析】
(1)由题意得△＝(k+1)2﹣4×k2＞0，解不等式即可求得答案；
(2)根据k取最小整数，得到k＝0，列方程即可得到结论．
【详解】
(1)∵关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+＝0 有两个不相等的实数根，
∴△＝(k+1)2﹣4×k2＞0，
∴k＞﹣；
(2)∵k取最小整数，
∴k＝0，
∴原方程可化为x2+x＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

7 / 7