1、计算题定时规范训练(四)
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1.(8分)(2021·湖南永州市第三次模拟)如图1所示是由透明材料制成的柱体的横截面图，圆弧AB所对的圆心角∠AOB为120°，圆弧半径为R，P为AO上的点。现有一光线沿纸面垂直OA从P点射入，射到圆弧面上的C点恰好发生全反射。已知OP＝R，光在真空中传播的速度大小为c。求：
图1
(1)透明材料的折射率和光线发生全反射的临界角；
(2)光从P点射入到第一次射出柱体所用的时间。
答案 (1) 60° (2)
解析 (1)光路图如图所示，设透明材料的折射率为n，光线发生全反射的临界角为θ，则sin θ＝，sin θ＝，其中OP＝R
2、
解得n＝，θ＝60°。
(2)在C点发生全反射的光线在圆弧面AB上D点恰好再次发生全反射，后垂直OB从E点射出柱体。由几何关系有PC＝DE＝R，CD＝R
光从P点传播到E点所用的时间为t＝，又n＝，解得t＝。
2.(14分)(2021·天津市学业水平等级性考试模拟)如图2，M、N为水平放置的一对平行金属板间距为d，长l＝d，所加电压U＝U0。金属板右侧有一以CD、EF两竖直线为边界的匀强磁场，磁感应强度为B，方向如图所示。现有质量为m，带电荷量为q的负离子(重力不计)从静止开始经电场U0加速后，沿水平方向由金属板MN正中央射入，经电场、磁场后从边界EF水平射出。求：
图2
3、
(1)离子射入金属板MN时初速度的大小；
(2)离子离开金属板MN时速度的大小和方向；
(3)离子在磁场中运动的时间。
答案 (1) (2)2，与水平方向成30°角偏向M板 (3)
解析 (1)加速电场中，由动能定理得
qU0＝mv
解得离子射入金属板MN的初速度大小v0＝。
(2)离子在偏转电场中，水平方向上有l＝v0t
竖直方向有a＝＝，vy＝at＝
则合速度大小为v＝＝2
设速度与水平方向的夹角为θ，则
cos θ＝＝
可知θ＝30°，即速度方向为与水平方向成30°角偏向M板。
(3)离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m
根据周期的定
4、义得T＝，解得T＝
如图由几何关系得，离子在磁场中运动的圆弧轨迹所对应的圆心角α＝
则离子在磁场中运动的时间t′＝T＝。
3.(18分)(2021·安徽马鞍山市第二次质量监测)有一水平足够长的传送带，以3 m/s的速度沿顺时针方向匀速运转，传送带右端与倾角为37°的粗糙固定斜面底端B平滑连接，一质量1 kg的小滑块从斜面上A点由静止释放，经过一段时间后，最终停在传送带与斜面的连接处。小滑块与斜面、传送带之间的动摩擦因数均为0.5，A、B间距离为4 m。重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
图3
(1)小滑块从释放到第一次到达B点经
5、历的时间；
(2)小滑块第三次通过B点的速度大小；
(3)从释放到最终停止，小滑块运动的总路程。
答案 (1)2 s (2) m/s (3)8.775 m
解析 (1)小滑块从A点由静止释放向下运动，由牛顿第二定律得mgsin θ－μmgcos θ＝ma1
代入数值解得a1＝2 m/s2
由sAB＝a1t，得第一次到达B点时间为t1＝2 s。
(2)小滑块第一次滑上传送带的速度大小为v＝a1t1＝4 m/s，此后先向左匀减速，而后向右匀加速，v＝4 m/s>v0＝3 m/s，当滑块和传送带速度相同时开始匀速，所以滑块返回B点时速度大小为v0＝3 m/s，滑块沿斜面向上运动的加速度
6、为ma2＝mgsin θ＋μmgcos θ
解得a2＝10 m/s2
滑块第一次以初速度v0冲上斜面后上升的最大距离x1，滑块第三次到B时速度大小为v1，则v＝2a2x1，v＝2a1x1，联立得第三次通过B点的速度大小v1＝v0＝ m/s。
(3)滑块第一次以v滑上传送带，向左运动的位移为
s1＝＝1.6 m
滑块第二次以初速度v1滑上传送带，由于v1
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