广西玉林市普通高中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题.docx

2022年1月玉林市高一教学质量监测试题
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：必修第一册．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题，则命题p的否定是（ ）
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
【分析】全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定.
【详解】因为命题，所以命题p的否定是，
故选：A.
2. 如果，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取，利用不等式性质可判断ABC选项；利用不等式的性质可判断D选项.
【详解】若，则，所以，，，ABC均错；
因为，则，因为，则，即.
故选：D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】先解指数不等式，再判断二者之间的逻辑关系.
【详解】由可得
当时，不能得到，即不能得到；
当时，可以得到成立.
故“”是“”必要不充分条件．
故选：D
4. 若关于x的不等式的解集为，则关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 在上单调递减 B. 有2个零点，分别为1和3
C. 在上单调递增 D. 最小值是
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数性质逐项判断可得答案.
【详解】方程的两个根是1和3，则函数图象的对称轴方程是，是开口向上的抛物线，A正确；C错误；
函数的两个零点是1和3，因此B正确；又，，，即，为最小值，D正确．
故选：C.
5. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A. 该图象对应的函数解析式为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数在区间上单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】先依据图像求得函数的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间的说法.
【详解】由图象可知，即，所以，
又，可得，又因为所以，
所以，故A错误；
当时，.故B正确；
当时，，故C错误；
当时，则，函数不单调递减.故D错误．
故选：B
6. 若函数的零点所在的区间为，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的性质可得在上是增函数，再由函数零点存在定理列不等式组，即可求解得a的取值范围.
【详解】易知函数在上单调递增，且函数零点所在的区间为，所以，解得．
故选：C
7. 下列关系中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数单调性，借助临界值可确定A错误；根据指数函数和幂函数单调性可知B正确；根据正弦函数和余弦函数的单调性和对称性，可判断CD正误.
【详解】对于A，，，A错误；
对于B，在上单调递减，，；
又，，B正确；
对于C，在上单调递增，在上单调递减，；
又关于对称，，，，，
，C错误；
对于D，在上单调递减，在上单调递增，；
又关于对称，，，，，
，D错误.
故选：B.
8. 某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系为（式中的e为自然对数的底数，为污染物的初始含量）．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了，要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤的小时数为（ ）（参考数据：）
A. 40 B. 38 C. 44 D. 42
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，可求解，解不等式即得解
【详解】根据题设，得，
∴，所以；
由，得，两边取10为底对数，并整理得
，∴，因此至少还需过滤40小时．
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由对数运算性质可以判断选项A，取，即可判断选项B，由对数运算性质与可以判断选项C与D.
【详解】对于选项A，由对数运算性质知：有，而，选项A错误；
对于选项B，当时，成立，选项B正确；
对于选项C，，选项C正确；
对于选项D，，选项D正确．
故选：BCD
10. 已知函数的图象经过点则 ）
A. 图象经过点 B. 的图象关于y轴对称
C. 在上单调递减 D. 在内的值域为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出，结合选项可得答案.
【详解】将点的坐标代入，可得，则的图象不经过点，A错误；在上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可得B错误，D正确．
故选：CD.
11. 下列命题正确的是（ ）
A. 在与角终边相同的角中，最小的正角为
B. 若角的终边过点，则
C. 已知是第二象限角，则
D. 若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】依据终边相同角定义去判断选项A；依据三角函数定义去判断选项B；依据三角函数值符号判定去判断选项C；依据扇形面积计算公式去判断选项D即可.
【详解】选项A：由且，可得，
故所求的最小正角.正确；
选项B：由三角函数的定义可得.正确；
选项C：∵是第二象限角，∴，，∴，，∴.正确；
选项D：弧长为2，圆心角为，则扇形的半径为，所以扇形面积为.错误．
故选：ABC
12. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为
C. 若，则
D. 若实数a，b满足，则的最小值为2
【答案】CD
【解析】
【分析】取可判断A；构造借助均值不等式可判断B；构造借助均值不等式可判断C；令，则，借助均值不等式可判断D
【详解】对于A，若，则，A错误；
对于B，∵，∴，，
∴
（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；
对于C，∵，∴，，又，
（当且仅当，即时取等号），C正确；
对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．
故选：CD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开放式大于等于零和对数有意义，解对数不等式得到结果即可.
【详解】∵函数
∴x>0且，∴
∴函数的定义域为
故答案为
【点睛】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．
14. 已知则________．
【答案】
【解析】
【分析】分段函数的求值，在不同的区间应使用不同的表达式.
【详解】，
故答案为：.
15. 集合，用列举法可以表示为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据集合元素属性特征进行求解即可.

【详解】因为，所以，可得，因为，所以，集合．
故答案为：
16. 如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为H函数．例如：就是H函数．下列函数：①；②；③；④中，______是H函数（只需填写编号）（注：“”表示不超过x的最大整数）．
【答案】③④
【解析】
【分析】根据新定义进行判断.
【详解】根据定义可以判断①②在集合上的值域不是集合，显然不是H函数. ③④是H函数.
③是H函数，证明如下：
显然，
不妨设，可得，即
，恒有成立
，满足
，总存在满足
是H函数.
④是H函数，证明如下：
显然，
不妨设，可得，即
，恒有成立
，满足
，总存在满足
H函数.
故答案为：③④
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）当时，求以及；
（2）若Ü，求实数m的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求出集合，根据集合的交并补运算可得答案；
（2）由集合的包含关系可得答案.
【小问1详解】
，
当时，，∴，
，，
∴.
【小问2详解】
由题可知，
所以，
解得，
所以实数m的取值范围为.
18. 设函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在上的最值．
【答案】（1）；
（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】(1)利用辅助角公式化简f(x)解析式即可根据正弦型函数的周期求解；
(2)求出g(x)解析式，根据正弦型函数的性质可求其在上的最值.
【小问1详解】
，
故函数的最小正周期；
【小问2详解】
，
，
∴，故，．
19. 已知函数．
（1）记，已知函数为奇函数，求实数b的值；
（2）求证：函数是上的减函数．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由奇函数性质列方程去求实数b的值即可解决；
（2）以减函数定义去证明函数是上的减函数即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
∵为奇函数，，
所以恒成立，
即恒成立，解得，经检验时，为奇函数.
故实数b的值为
【小问2详解】
设任意实数，
则，
因为，所以，，即
又，则
所以，即，
所以函数是上的减函数．
20. 已知角在第二象限，且．
（1）求的值；
（2）若，且为第一象限角，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数关系可求解得，利用诱导公式化简原式可得原式，代入即得解；
（2）利用同角三角函数关系可得，又，利用两角差的正弦公式，即得解

【小问1详解】
因为，且在第二象限，
故，所以，
原式

【小问2详解】
由题意有
故，

．
21. 榴弹炮是一种身管较短，弹道比较弯曲，适合于打击隐蔽目标和地面目标的野战炮，是地面炮兵的主要炮种之一．为中国共产党建党100周年献礼，某军工研究所对某类型榴弹炮进行了改良．如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为．改良后的榴弹炮位于坐标原点．已知该炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求该类型榴弹炮的最大射程；
2）证明：该类型榴弹炮发射的高度不会超过．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）解一元二次方程即可求得该类型榴弹炮的最大射程；
（2）以二次函数在给定区间求值域的方法去解决即可.
【小问1详解】
令，得，
由实际意义和题设条件知，
故，（当且仅当时取等号）．
所以炮的最大射程为；
【小问2详解】
，
由，可知
因此，
所以该类型榴弹炮发射的高度不会超过．
22. 若两个函数和对任意，都有，则称函数和在上是疏远的．
（1）已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；
（2）若函数和在上是疏远的，求整数a的取值范围．
【答案】（1）该命题为假命题，反例为:当时，.
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用“疏远函数”的定义直接判断即可，以或举例即可；（2）由函数的定义域可确定实数，构造函数，可证当时，恒成立，即函数和在上是疏远的．
【小问1详解】
该命题为假命题，反例为:当时，.
【小问2详解】
由函数的定义域可知，故．
记．
∵在上单调递增，在上单调递减，
∴在上单调递增，
∴当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，
∴当时，．
故.

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