2022北京顺义初二(上)期末数学(教师版).docx

2022 北京顺义初二(上)期末
数 学
一、选择题(共 10 道小题，每小题 2 分，共 20 分)
1. 9 的平方根是( )
A 3 B. 3 C. 3 D.
.
x 1
2. 若分式 x + 1 有意义，则实数x 的取值范围是( )
A. x 1 B. x 1 C. x = 1 D. x = 1
3. 下列三角形是轴对称图形，且对称轴不只 1 条的是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C 等腰直角三角形 D. 等边三角形
.
4. 在下列长度的四根木棒中，能与 3cm ，9cm 的两根木棒首尾顺次相接钉成一个三角形的是( )
A. 3cm B. 6cm C. 10cm D. 12cm
5. 任意掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的可能性是( )

A. B. C. D.
6. 下列以 a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是( )
A. a＝1 ，b＝1 ，c＝ B. a＝2 ，b＝3 ，c＝
C. a＝3 ，b＝5 ，c＝7 D. a＝6 ，b＝8 ，c＝10
7. 如图是一个可以转动的转盘．盘面上有 6 个全等的扇形区域，其中 1 个是红色， 2 个是黄色， 3 个是白色．用力 转动转盘，当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性是( )

A. B. C. D.
8. 当m < 0 时，化简二次根式 ，结果正确的是( )
A. n B. n C. D.
9. 乒乓球比赛以 11 分为 1 局，水平相当的甲、乙两人进行乒乓球比赛，在一局比赛中，甲已经得了 8 分，乙只得

了 2 分，对这局比赛的结果进行预判，下列说法正确的是( )
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．
A. 甲获胜的可能性比乙大
C. 甲、乙获胜的可能性一样大

B. 乙获胜的可能性比甲大
D. 无法判断

10. 如图， △ABC 中，直线 l 是边 AB 的垂直平分线，若直线 l 上存在点 P，使得△PAC，△PAB 均为等腰三角形，则 满足条件的点 P 的个数共有( )

A. 1

B. 3

C. 5

D. 7

二、填空题(共 10 道小题，每小题 2 分，共 20 分)
4x 1
11. 如果分式 2x+ 3 的值为 0，则 x 的值是__________．
12. 最接近 的整数是_．

13. 计算：
3 8
=
__________

14. 如图， PA＝PB，请你添加一个适当的条件： ___________，使得△PAD ≌△PBC．

15. 一个盒子里装有除颜色外都相同的 1 个红球， 4 个黄球．把下列事件的序号填入下表的对应栏目中．
①从盒子中随机摸出 1 个球，摸出的是黄球；
②从盒子中随机摸出 1 个球，摸出的是白球；
③从盒子中随机摸出2 个球，至少有 1 个是黄球．

事件
必然事件
不可能事件
随机事件
序号
_____
_____
_____

16. 等腰三角形中，一条边长是 2cm，另一条边长是 3cm，这个等腰三角形的周长是________．
17. 已知：公式 = , 其中P1 ，P2 ， V1 ， V2 均不为零．则P2 = ___________ ．(用含有 P1 ， V1 ， V2 的式子表 示)
18. 如图，在△ABC 中， ∠ACB＝90°，点 D 在 AB 上，将△ABC 沿 CD 折叠，点 A 落在 BC 边上的点 A 处，若∠B＝
35°，则 三BDA的度数为___________．
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x2 + 4 x - 3 x - 3
x + 1 3

19. 某班共有 36 名同学，其中男生 16 人，喜欢数学的同学有 12 人，喜欢体育的同学有 24 人．从该班同学的学号 中随意抽取 1 名同学，设这名同学是女生的可能性为 a ，这名同学喜欢数学的可能性为 b，这名同学喜欢体育的可 能性为 c ，则 a ，b ，c 的大小关系是___________．
|l - (a < b)
20. 对于任意的正数 a ，b ，定义运算“*”如下： a * b =〈(| - (a > b) ，计算(3 * 2) + (48* 50) 的结果为

___________．
三、解答题(共 60 分，第 21 题 4 分，第 22－－31 题，每题 5 分，第 32 题 6 分)
21. 计算： ´ ¸ ．
22. 计算： 2 - + ．
23. 已知：如图， E，F 是线段 BC 上两点， AB ∥ CD ，BE＝CF，∠A＝∠D．求证： AF＝DE．

24. 计算： - 政 ． x2 - 4 x - 2 x
x - 1 x + 1
25. 解方程： - = 1 ．
26. 计算： ( - 2 )2 - - ))|| ．
27. 先化简，再求值 - ，其中 x2 + 6x - 3 = 0 ．
28. 已知：如图， Rt△ABC 中， ∠C＝90° ，CA＝CB ，D 是边 CB 上一点， DE⊥AB 于点 E，且 CD＝BE．求证： AD 平 分∠BAC．

29. “三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图 1 所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理 做出的．这个仪器由两根有槽的棒 PA ，PB 组成，两根棒在 P 点相连并可绕点 P 旋转， C 点是棒 PA 上的一个固定


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点，点 A ，O 可在棒 PA ，PB 内的槽中滑动，且始终保持 OA＝OC＝PC．∠AOB 为要三等分的任意角．则利用“三等
分角仪”可以得到∠APB ＝ ∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图 2 所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图 2，点 O ，C 分别在∠APB 的边 PB ，PA 上，且 OA＝OC＝PC．
求证： ∠APB ＝ ∠AOB．

30. 列方程解应用题：某市为了缓解交通拥堵现象，决定修建一条轻轨铁路的延长线，为使该延长线工程比原计划 提前 1 个月完成，在保证质量的前提下，必须把工作效率提高 10%．问原计划完成这项工程需要用多少个月？
31. 已知：在△ABC 中， AB＝AC，直线 l 过点A ．

(1)如图 1，∠BAC＝90°，分别过点 B ，C 作直线 l 的垂线段 BD ，CE，垂足分别为 D ，E．
①依题意补全图 1；
②用等式表示线段 DE，BD ，CE 之间的数量关系，并证明；
(2)如图 2，当∠BAC≠90。时，设∠BAC＝α (0°＜ α ＜180°)，作∠CEA＝∠BDA＝α，点 D ，E 在直线 l 上，直接用 等式表示线段 DE，BD ，CE 之间的数量关系为 ．
32. 我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图 1，在△ABC 中， AB＝AC， 的值 为△ABC 的正度．
已知：在△ABC 中， AB＝AC，若 D 是△ABC 边上的动点(D 与A ，B ，C 不重合)．

(1)若∠A＝90°，则△ABC 的正度为 ；
(2)在图 1，当点 D 在腰 AB 上(D 与A 、B 不重合)时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；若△ACD 的 正度是 ，求∠A 的度数．
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(3)若∠A 是钝角，如图 2 ，△ABC的正度为 ，△ABC 的周长为 22，是否存在点 D，使△ACD 具有正度？若存 在，求出△ACD 的正度；若不存在，说明理由．


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参考答案
一、选择题(共 10 道小题，每小题 2 分，共 20 分)
1. 9 的平方根是( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 【答案】 C
【解析】
【分析】根据平方根的定义，可得 9 的平方根．
【详解】∵(3)2 =9 ，
∴9 的平方根为±3，
故选： C．
【点睛】本题考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念和运算是解题的关键．
x 1
2. 若分式 x + 1 有意义，则实数x 的取值范围是( )
A. x 丰 1 B. x 丰 1 C. x = 1 D. x = 1 【答案】 B
【解析】
【分析】分式 有意义，则x + 1 丰 0 ，求出 x 的取值范围即可.
【详解】 ∵分式 有意义，
x 1
x + 1
∴ x + 1 丰 0 ，
解得： x 丰 1 ，
故选 B.
【点睛】本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分式有意义的条件是解决本题的关键.
3. 下列三角形是轴对称图形，且对称轴不只 1 条的是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】 D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的特点求解；轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解： A 、等腰三角形是轴对称图形，不考虑三条边相等的情况下，对称轴有 1 条，不符合题意；
B 、直角三角形不一定是轴对称图形，不一定有对称轴，不符合题意；
C 、等腰直角三角形是轴对称图形，对称轴有 1 条，不符合题意；
D 、等边三角形是轴对称图形，对称轴有 3 条，符合题意；
故选： D．
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【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念．解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对 称轴折叠后可重合．
4. 在下列长度的四根木棒中，能与 3cm ，9cm 的两根木棒首尾顺次相接钉成一个三角形的是( )
A. 3cm B. 6cm C. 10cm D. 12cm
【答案】 C
【解析】
【分析】设第三根木棒的长度为 x cm，再确定三角形第三边的范围，再逐一分析各选项即可得到答案.
【详解】解：设第三根木棒的长度为 x cm，则
9 - 3 < x < 9 +3,
\ 6 < x < 12,
所以 A ，B ，D 不符合题意， C 符合题意，
故选 C
【点睛】本题考查的是三角形的三边的关系，掌握“利用三角形的三边关系确定第三边的范围”是解本题的关键.
5. 任意掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的可能性是( )

A. B. C. D. 【答案】 A
【解析】
【分析】如果一个事件的发生有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的
概率P(A) = , 利用概率公式直接计算即可得到答案．
【详解】解：抛掷一枚分别标有 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 的正方体骰子，
骰子落地时朝上的数为偶数的可能性有3 种，而所有的等可能的结果数有6 种，
所以骰子落地时朝上的数为偶数的概率是 P = 3 = 1
6 2 .
故选 A
【点睛】本题考查了简单随机事件的概率，掌握概率公式是解本题的关键.
6. 下列以 a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是( )
A. a＝1 ，b＝1 ，c＝ B. a＝2 ，b＝3 ，c＝
C. a＝3 ，b＝5 ，c＝7 D. a＝6 ，b＝8 ，c＝10
【答案】 C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则 可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【详解】解： A 、 12 + 12 = ( )2 ，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
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B 、 22 + 32 = ( )2 ，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
C 、 32 + 52 士 72 ，该三角形不是直角三角形，故此选项符合题意；
D 、 62 + 82 = 102 ，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选： C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关 系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
7. 如图是一个可以转动的转盘．盘面上有 6 个全等的扇形区域，其中 1 个是红色， 2 个是黄色， 3 个是白色．用力
转动转盘，当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性是( )

A. B. C. D. 【答案】 B
【解析】
【分析】如果一个事件的发生有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的
概率P(A) = , 利用概率公式直接计算即可得到答案．
【详解】解：因为指针可以指向 6 个区域的任何一个，所以有 6 个等可能的结果，而指向黄色区域的结果数有 2 种，
所以当转盘停止后，指针对准黄色区域的可能性是： = .
故选 B
【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握利用概率公式进行计算是解题的关键．
8. 当m < 0 时，化简二次根式 ，结果正确的是( )
A. n B. n C. D. 【答案】 D
【解析】

【分析】先判断 n < 0, 再利用 = (a 3 0, b >0) 进行化简即可.
【详解】解： Q m < 0, > 0,
\ n < 0,


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\ = = g = - .
故选 D
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，根据隐含条件判断 n < 0 是解本题的关键，易错点的是化简过程中出现二 次根式没有意义的情况.
9. 乒乓球比赛以 11 分为 1 局，水平相当的甲、乙两人进行乒乓球比赛，在一局比赛中，甲已经得了 8 分，乙只得 了 2 分，对这局比赛的结果进行预判，下列说法正确的是( )
A. 甲获胜的可能性比乙大 B. 乙获胜的可能性比甲大
C. 甲、乙获胜的可能性一样大 D. 无法判断
【答案】 A
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性即可判断．
【详解】 ∵甲已经得了 8 分，乙只得了2 分，甲、乙两人水平相当
∴甲获胜的可能性比乙大
故选 A．
【点睛】此题主要考查事件发生的可能性，解题的关键是根据题意进行判断．
10. 如图， △ABC 中，直线 l 是边 AB 的垂直平分线，若直线 l 上存在点 P，使得△PAC，△PAB 均为等腰三角形，则 满足条件的点 P 的个数共有( )

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】 A
【解析】
【分析】 AC 的垂直平分线交 l 于 P 点即为所求．
【详解】如图， AC 的垂直平分线交 l 于 P 点，则AP=CP=BP
此时△PAC，△PAB 均为等腰三角形，
共一点，


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故选 A．
【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质与等腰三角形的判定，解题的关键是熟知等腰三角形的定义与垂直平分线 的性质．
二、填空题(共 10 道小题，每小题 2 分，共 20 分)
4x 1
11. 如果分式 2x+ 3 的值为 0，则 x 的值是__________．
【答案】 ## 0.25
【解析】
【分析】分式的值为零时，分子等于零，即 4x 1 = 0 ．
【详解】解：由题意知， 4x 1 = 0 ．
解得x = ．
此时分母2x+ 3 = 士 0 ，符合题意．
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于 零．
12. 最接近 的整数是______． 【答案】 4
【解析】
【分析】根据无理数的估算得出所求即可．
【详解】解： ∵16 < 17 < 25 ，
∴ 4 < < 5 ，
则最接近 的整数是 4，
故答案为： 4．
【点睛】此题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
13. 计算： = __________．
【答案】 2
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【解析】
【分析】直接利用立方根、绝对值化简得出答案．
【详解】解：原式 =| 2 |= 2 ．
故答案为： 2．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是正确化简．
14. 如图， PA＝PB，请你添加一个适当的条件： __使得△PAD ≌△PBC．

【答案】 ∠D=∠C 或∠PAD=∠PBC 或∠DBC=∠CAD 或 PD=PC 或 AC=BD．
【解析】
【分析】已有∠P 是公共角和边 PA=PB，根据全等三角全等的条件，利用 AAS 需要添加∠D=∠C，根据 ASA 需要添 加∠PAD=∠PBC 或∠DBC=∠CAD，根据边角边需要添加 PD=PC 或 PC=PD ．填入一个即可．
【详解】解： ∵PA=PB ，∠P 是公共角，
∴根据 AAS 可以添加∠D=∠C，，
在△PAD 和△PBC 中，
∵PA=PB ，∠P 是公共角， ∠D=∠C，
∴△PAD ≌△PBC (AAS)．
根据 ASA 可以添加∠PAD=∠PBC，
在△PAD 和△PBC 中，
∵PA=PB ，∠P 是公共角， ∠PAD=∠PBC，
∴△PAD ≌△PBC (ASA)．
根据 ASA 可以添加∠DBC=∠CAD，
∴ 180°-∠DBC=180°-∠CAD，即∠PAD=∠PBC，
在△PAD 和△PBC 中，
∵PA=PB ，∠P 是公共角， ∠PAD=∠PBC，
∴△PAD ≌△PBC (ASA)．
根据 SAS 可添加 PD=PC
在△PAD 和△PBC 中，
∵PA=PB ，∠P是公共角， PD=PC，
∴△PAD ≌△PBC (SAS)．
根据 SAS 可添加 BD=AC，
∵PA=PB ，BD=AC，
∴PA+AC=PB+BD 即 PC=PD，
在△PAD 和△PBC 中，
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∵PA=PB ，∠P 是公共角， PD=PC，
∴△PAD兰△PBC (SAS)．
故答案为： ∠D=∠C 或∠PAD=∠PBC 或∠DBC=∠CAD 或 PD=PC 或 AC=BD．
【点睛】本题考查三角形全等添加条件，掌握三角形全等判定方法与定理是解题关键．
15. 一个盒子里装有除颜色外都相同的 1 个红球， 4 个黄球．把下列事件的序号填入下表的对应栏目中．
①从盒子中随机摸出 1 个球，摸出的是黄球；
②从盒子中随机摸出 1 个球，摸出的是白球；
③从盒子中随机摸出2 个球，至少有 1 个是黄球．

事件
必然事件
不可能事件
随机事件
序号
_____
_____
_____

【答案】 ①. ③ ②. ② ③. ①
【解析】
【分析】直接利用必然事件：一定发生的事件；不可能事件：一定不会发生的事件；随机事件：可能发生可能不发 生的事件，来依次判断即可．
【详解】解：根据盒子里装有除颜色外都相同的 1 个红球， 4 个黄球，
①从盒子中随机摸出 1 个球，摸出的是黄球，属于随机事件；
②从盒子中随机摸出 1 个球，摸出的是白球，属于不可能事件；
③从盒子中随机摸出2 个球，至少有 1 个是黄球，属于必然事件；
故答案是： ③，②，①．
【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，解题的关键是掌握相应的概念进行判断．
16. 等腰三角形中，一条边长是 2cm，另一条边长是 3cm，这个等腰三角形的周长是________． 【答案】 8cm或7cm## 7cm 或8cm
【解析】
【分析】因为已知长度为 2cm和3cm两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解： ①当2cm为底时，其它两边都为3cm，
2cm 、3cm、3cm可以构成三角形，
周长为8cm ；
②当3cm为底时，其它两边都为2cm ，
2cm 、2cm 、3cm可以构成三角形，
周长为7cm ；
故答案为： 8cm或7cm ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况， 解题的关键是利用分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要．


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17. 已知：公式 = , 其中P1 ，P2 ， V1 ， V2 均不为零．则P2 = ___________ ．(用含有 P1 ， V1 ， V2 的式子表 示)

【答案】
【解析】
【分析】在公式的两边都乘以V1 即可得到答案.
【详解】解： Q = ,
\ P2 = ,
故答案为：
【点睛】本题考查的是公式的变形，利用解分式方程的思想进行变形是解本题的关键.
18. 如图，在△ABC 中， ∠ACB＝90°，点 D 在 AB 上，将△ABC 沿 CD 折叠，点 A 落在 BC 边上的点 A 处，若∠B＝
35°，则 三BDA的度数为___________．

【答案】 20°##20 度
【解析】
【分析】先根据三角形内角和求出∠A，利用翻折不变性得出 三CAD = 三A = 55o ，再根据三角形外角的性质即可
解决问题．
【详解】解： 三ACB = 90o ，∠B＝35°，
：三A = 180o 一 三ACB 一 三B = 180o 一 90o 一 35o = 55o ， △CDA 是由 CDA 翻折得到，
：三CAD = 三A = 55o ，
三CAD = 三B + 三BDA = 三B + 20o ，
：三BDA = 三CAD 一 三B = 55o 一 35o = 20o ．
故答案为： 20°．

【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
于中考常考题型．
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19. 某班共有 36 名同学，其中男生 16 人，喜欢数学的同学有 12 人，喜欢体育的同学有 24 人．从该班同学的学号 中随意抽取 1 名同学，设这名同学是女生的可能性为 a ，这名同学喜欢数学的可能性为 b，这名同学喜欢体育的可 能性为 c ，则 a ，b ，c 的大小关系是___________．
【答案】 c ＞a＞b
【解析】
【分析】根据概率公式分别求出各事件的概率，故可求解．
【详解】依题意可得从该班同学的学号中随意抽取 1 名同学，设这名同学是女生的可能性为 = = ，这 名同学喜欢数学的可能性为 = ，这名同学喜欢体育的可能性为 = ，
∵ ＞ ＞
∴a ，b ，c 的大小关系是 c ＞a＞b
故答案为： c ＞a＞b．
【点睛】本题考查概率公式的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
|l _ (a < b)
20. 对于任意的正数 a ，b ，定义运算“*”如下： a * b =〈(| _ (a > b) ，计算(3 * 2) + (48* 50) 的结果为

___________．
【答案】 4 _ 3 ## - 3 +4
【解析】
【分析】根据题意选择合适的对应法则．因为 3＞2，所以选择第一种对应法则； 48＜50，选第二种对应法则．
【详解】解： ∵ a * b =〈(| _ (a > b )
|l _ (a < b)
∴(3 * 2) + (48* 50) = 3 _ 2 + 50 _ 48 = 3 _ 2 + 5 2 _ 4 3 = 4 2 _ 3 3
故答案为： 4 _ 3 ．
【点睛】主要考查二次根式的运算及化简．定义新运算题型能很好的考查学生对新情景知识的学习能力．读懂题 意，按照定义是关键．
三、解答题(共 60 分，第 21 题 4 分，第 22－－31 题，每题 5 分，第 32 题 6 分)
21. 计算： ´ ．
¸

【答案
【解析】
【分析】按照从左至右的运算顺序先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法运算即可.
【详解】解： ¸
3 ´ 6
¸
= 18 8 = 4 = 2 .
9 3

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【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘法与除法的运算法则及混合运算的运算顺序” 是解本题的关键.
22. 计算： 2 + ． 【答案】 6
【解析】
【分析】利用二次根式的性质先化简，再合并同类项即可．
【详解】解： 2 + ，
=4 + 3 ，
=6 ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，二次根式的加减法，解题的关键是掌握运算法则．
23. 已知：如图， E，F 是线段 BC 上两点， AB ∥ CD ，BE＝CF，∠A＝∠D．求证： AF＝DE．

【答案】见解析
【解析】
【分析】欲证明 AF＝DE，只要证明△ABF兰△DCE 即可；
【详解】证明： ∵BE＝CF，
∴BF＝CE，
∵AB ∥ CD，
∴∠B＝∠C，
(|三A = 三D
在△ABF 和△DCE，〈| ，
∴△ABF兰△DCE，
∴AF＝DE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条 件，属于中考常考题型．
24. 计算： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】先把除化乘，再因式分解同时约分，通分合并化简为最简分式即可．


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【详解】解： 一 政 x 3 ，
= 一 . ，
x2 + 4 x 一 3 x
x2 一 4 x 一 2 x 一 3
x2 + 4 x (x + 2)
= (x + 2)(x 一 2) 一 (x 一 2)(x + 2) ，
x2 + 4 一 x2 一 2x
= (x + 2)(x 一 2) ，
一2 (x 一 2)
= (x + 2)(x 一 2) ，
= 一 ．
2
x + 2
【点睛】本题考查分数加减乘除混合运算，掌握分式混合运算法则是解题关键．
x + 1 3
x 一 1 x + 1
25. 解方程： 一 = 1 ．
【答案】 x = 5
【解析】
【分析】先去分母把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可.
【详解】解： 一 = 1
x + 1 3
x 一 1 x + 1
去分母得： (x +1)2 - 3 (x - 1) = (x +1) (x - 1)
去括号得： x2 +2x +1 - 3x +3 = x2 - 1
整理得： 一x = 一5
解得： x = 5
经检验： x = 5 是原方程的解，
所以原方程的解是x = 5 .
【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握“解分式方程的步骤”是解本题的关键.
26. 计算： ( 一 2 )2 一 一 ))|| ． 【答案】 15 - 12
【解析】
【分析】先按照完全平方公式，乘法的分配律进行二次根式的乘方与乘法运算，再合并即可. 【详解】解：原式 = 6 - 2 ´ ´ 2 +12 - 4 +1
= 6 - 12 +12 - 4 +1
=15 - 12


16 / 23

x + 3 x + 6x + 9
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除，乘方的运算法则与混合运算的运算顺序”
是解本题的关键.
27. 先化简，再求值： 2 ，其中 x2 + 6x 3 = 0 ．
x2 +6x - 1 1
【答案】
x 1 3x

x2 +6x +9 ， 6
【解析】
【分析】先通分，化为同分母的分式，再进行加减运算，再把条件式化为 x2 +6x = 3, 整体代入求值即可.
【详解】解： -
= x (x +3) - 1 - 3x
(x +3)2 (x +3)2
x2 +3x - 1 +3x x2 +6x - 1
= =
x2 +6x +9 x2 +6x +9
x2 + 6x 3 = 0
\ x2 +6x = 3,
3 +9 12 6 .
所以：原式 = 3 - 1 = 2 = 1

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练的通分，整体代入求值都是解本题的关键.
28. 已知：如图， Rt△ABC 中， ∠C＝90° ，CA＝CB ，D 是边 CB 上一点， DE⊥AB 于点 E，且 CD＝BE．求证： AD 平
分∠BAC．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明 BDE 为等腰直角三角形，得出DE = BE ，再证明 Rt ACD≌Rt AED ，得出 三EAD = 三CAD ，即可证明．
【详解】解： CA = CB, 三C = 90。，
：Rt ABC 为等腰直角三角形，
：三DBE = 45。， 又∵ DE⊥ AB ，
： BDE 为等腰直角三角形，
：DE = BE ，
CD = BE ，
：CD = DE ，
17 / 23

AD = AD, 三ACD = 三AED = 90 ，
：Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ，
：三EAD = 三CAD ，
：AD 平分 三BAC ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形、三角形全等的判定及性质、角平分线，解题的关键是掌握三角形的全等的证 明．
29. “三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图