备战2023年高考数学一轮复习-第5节-函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用.docx

第5节　函数y=Asin(ωx+)的图象与性质及三角函数模型的应用

1.了解函数y=Asin(ωx+)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+)的图象,了解参数A,ω,对函数图象变化的影响.
2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

1.y=Asin(ωx+)的有关概念
y=Asin(ωx+)
(A>0,ω>0),
x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=2πω
f=1T=ω2π

2.用五点法画y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如表所示:
x
0-ω
π2-ω
π-ω
3π2-ω
2π-ω
ωx+

π2

3π2

y=Asin(ωx+)
0
A
0
-A
0
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象的两种途径

1.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是||个单位长度;先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度.
2.函数y=Asin(ωx+)的对称轴由ωx+=kπ+π2,k∈Z确定;对称中心由ωx+=kπ,k∈Z确定其横坐标.

1.函数y=2sin(12x-π3)、频率和初相分别为(　　)
A.2,4π,π3 B.2,14π,π3
C.2,14π,-π3 D.2,4π,-π3
2.为了得到函数y=2sin(x-π3)图象,可以将函数y=2sin 2x的图象(　　)
A.向右平移π6个单位长度
B.向右平移π3个单位长度
C.向左平移π6个单位长度
D.向左平移π3个单位长度
3.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标都缩小为原来的12,纵坐标保持不变,再把图象向右平移π6个单位长度,则所得图象对应的解析式为(　　)
A.y=sin(2x-π3)
B.y=sin(2x-π6)
C.y=sin(x2-π3)
D.y=sinx2-π6)
4.用五点法画函数y=sin(x-π6)在一个周期内的图象时,主要确定的五个点是　　　　、　　　　、　　　　、　　　　、　　　　. 
5.某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况.
月份x
1
2
3
4
收购价格y/(元/斤)
6
7
6
5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位:元/斤)与相应月份之间的函数关系为　. 

函数y=Asin(ωx+)的图象及变换
1.为了得到函数y=sin(2x+π6)的图象,可将函数y=sin 2x的图象(　　)
A.向右平移π12个单位长度
B.向左平移π12个单位长度
C.向右平移π6个单位长度
D.向左平移π6个单位长度
2.(多选题)将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则的值可能是(　　)
A.-34π B.π 4 C.0 D.-π4
3.在函数y=sin(ωx+π6)的图象向右平移2π3个单位长度后与原图象重合,则正数ω不可能是(　　)
A.2 B.3
C.6 D.9

1.函数y=Asin(ωx+)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+计算五点坐标.
2.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
求函数y=Asin(ωx+)的解析式
(1)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,||<π2)的部分图象如图所示,若x1,x2∈(-π6,π3),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=(　　)

A.12 B.22
C.32 D.1
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,||<π2)的部分图象如图所示,则y=f(x+π6)取得最小值时x的集合为　　　　. 

1.已知f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,利用周期性求ω,难点是“”的确定.
2y=Asin(ωx+)中的确定方法
(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
[针对训练]
1.已知函数f(x)=Asin(ωx+),x∈R(其中A>0,ω>0,-π2<<π2),其部分图象如图所示,将f(x)的图象横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位长度得到g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为(　　)

A.g(x)=sin[π2(x+1)]
B.g(x)=sin[π8(x+1)]
C.g(x)=sin(π2x+1)
D.g(x)=sin(π8x+1)
2.函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为　　　　. 

函数y=Asin(ωx+)的图象与性质的综合应用
已知函数f(x)=3sin(2ωx+π3)(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象,且g(x)的图象恰好经过点(-π3,0),求当m取得最小值时,g(x)在[-π6,7π12]上的单调递增区间.

函数图象与性质的综合问题.此类问题常先通过三角恒等变换化简函数解析式,再来研究其性质.
[针对训练]
1.设函数f(x)=sin(ωx-π6)+sin(ωx-π2),其中0<ω<3.已知f(π6)=0.
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[-π4,3π4]上的最小值.

三角函数模型的应用
如图,某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达P点,则点P到地面的距离是
　　　　米. 

三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.
[针对训练]
据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+)+B(>0,ω>0,||<π2)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为　　　　元. 
请完成“课时作业”第224～225页的内容