热点专题系列(2)-求解共点力平衡问题的八种方法.doc

《金版教程》高考总复习·物理（新高考）
热点专题系列(二) REDIANZHUANTI
求解共点力平衡问题的八种方法
对应学生用书P036 热点概述：共点力作用下的平衡条件是解决共点力平衡问题的基本依据，广泛应用于力、电、磁等各部分内容的题目中，求解共点力　平衡问题的八种常见方法总结如下。
[热点透析]
力的合成、分解法
三个力的平衡问题，一般将任意两个力合成，则该合力与第三个力等大反向，或将其中某个力沿另外两个力的反方向分解，从而得到两对平衡力。
　(2021·八省联考湖南卷)如图，一根质量为m的匀质绳子，两端分别固定在同一高度的两个钉子上，中点悬挂一质量为M的物体。系统平衡时，绳子中点两侧的切线与竖直方向的夹角为α，钉子处绳子的切线方向与竖直方向的夹角为β，则(　　)

A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析　设绳子的拉力大小为T，对绳子中点受力分析，由平衡条件可知2Tcosα＝Mg，对绳子和物体整体受力分析，由平衡条件可知2Tcosβ＝mg＋Mg，联立解得＝，故C正确。
答案　C
正交分解法
将各力分解到x轴上和y轴上，在两坐标轴上运用平衡条件Fx＝0、Fy＝0进行分析，多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。值得注意的是，对x、y方向选择时，尽可能使较多的力落在x、y轴上，被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。
　(2020·河北省唐山市高三一模)某同学用拇指和食指掐住质量为500 g的玻璃瓶上同高度的A、B位置处于静止状态，且瓶相对于手指恰好不下滑。该位置侧壁与竖直方向夹角为30°，其截面如图所示。若玻璃瓶与手指之间的动摩擦因数为μ＝0.2，手指可视为形状不变的圆柱体，重力加速度g＝10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则拇指与玻璃瓶之间的摩擦力为(　　)

A．1.25 N B．2.5 N
C． N D． N
解析　对玻璃瓶受力分析，并正交分解，如图所示，根据平衡条件有2fcosθ＋2Nsinθ＝mg，又f＝μN，联立并代入数据得f＝ N，故C正确，A、B、D错误。

答案　C
图解法
在共点力的平衡中，有些题目中常有“缓慢”一词，则物体处于动态平衡状态。解决动态平衡类问题常用图解法，图解法就是在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上，若满足有一个力大小、方向均不变，另有一个力方向不变，可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方法，图解法也常用于求极值问题。
　(2020·山西省临汾市高三上学期第二次月考)如图所示，用竖直木板挡住放在光滑斜面上的小球A，A受到的重力为G。整个装置静止在水平面上。设斜面和木板对小球A的弹力大小分别为F1和F2。保持木板竖直，在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中，A受力的变化情况是(　　)

A．F1增大，G不变，F2减小
B．F1减小，G不变，F2增大
C．F1减小，G不变，F2减小
D．F1不变，G增大，F2增大
解析　小球A受到重力、斜面对小球A的弹力F1和木板对小球的弹力F2，在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中，A的重力G不变，F2方向不变，由图解法知，F1、F2均减小，故C正确，A、B、D错误。

答案　C
三力汇交原理
物体受三个共面非平行外力作用而平衡时，这三个力的作用线(或反向延长线)必交于一点。
　一根长2 m，重为G的不均匀直棒AB，用两根细绳水平悬挂在天花板上，当棒平衡时细绳与水平面的夹角如图所示，则关于直棒重心C的位置，下列说法正确的是(　　)

A．距离B端0.5 m处 B．距离B端0.75 m处
C．距离B端 m处 D．距离B端 m处
解析　当一个物体受三个力作用而处于平衡状态时，如果其中两个力的作用线相交于一点，则第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点。把O1A和O2B延长相交于O点，则重心C一定在过O点的竖直线上，如图所示。由几何知识可知：BO＝AB＝1 m，BC＝BO＝0.5 m，故重心应在距B端0.5 m处。A正确。

答案　A
整体法和隔离法
当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法；而在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法。整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。
　如图所示，两个相同的物体A、B叠在一起放在粗糙的水平桌面上，连在物体B上的轻绳通过定滑轮与空箱C相连，箱内放有一小球与箱内壁右侧接触，整个系统处于静止状态。已知A、B的质量均为m，C的质量为M，小球的质量为m0，物体B与桌面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计滑轮摩擦和空气阻力，下列说法正确的是(　　)

A．物体A受到三个力的作用
B．小球受到三个力的作用
C．桌面受到物体的摩擦力大小为2μmg
D．桌面受到物体的摩擦力大小为(M＋m0)g
解析　隔离A可知A只受重力和B对A的支持力而平衡，故A错误；隔离小球，小球受两个力，重力和箱底的支持力，故B错误；以AB整体为研究对象，桌面对B的摩擦力f＝(M＋m0)g，B与桌面间的静摩擦力不一定达到最大，故不一定等于2μmg，由牛顿第三定律知桌面受到物体的摩擦力大小为(M＋m0)g，故C错误，D正确。
答案　D
假设法
假设某条件存在或不存在，进而判断由此带来的现象是否与题设条件相符，或者假设处于题设中的临界状态，以此为依据，寻找问题的切入点，进而解决该问题。
　(多选)如图所示，竖直平面内质量为m的小球与三条相同的轻质弹簧相连接。静止时相邻两弹簧间的夹角均为120°，已知弹簧a、b对小球的作用力均为F，则弹簧c对此小球的作用力的大小可能为(　　)

A．F B．F＋mg
C．F－mg D．mg－F
解析　假设三个弹簧中有a、b两弹簧伸长而c弹簧缩短，则此时小球的受力情况是：a和b两弹簧的拉力F、c弹簧的支持力Fc、小球自身的重力mg，如图甲所示。由共点力的平衡条件可得：2Fcos60°＋Fc－mg＝0，则Fc＝mg－F，故D正确。因为题中并未给定mg与F的大小关系，故可能有mg＝2F，则Fc＝mg－F＝2F－F＝F，故A正确。
假设a、b、c三个弹簧均是压缩的，此时小球的受力情况如图乙所示。小球的受力情况是：自身重力mg、a和b两弹簧斜向下方的弹力F、c弹簧竖直向上的弹力Fc，对小球由共点力的平衡条件可得：2Fcos60°＋mg－Fc＝0，则Fc＝F＋mg，故B正确。

假设a、b、c三个弹簧均是伸长的，此时小球的受力情况如图丙所示。小球的受力情况是：自身的重力mg、a和b两弹簧斜向上方的拉力F、c弹簧向下的拉力Fc，对小球由共点力的平衡条件可得，2Fcos60°－mg－Fc＝0，所以Fc＝F－mg，故C正确。
答案　ABCD
相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。注意：构建三角形时可能需要画辅助线。
　(2020·山西省大同市高三学情调研)如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的物体，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力F拉着，开始时∠BCA＞90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°。此过程中，轻杆BC所受的力(　　)

A．逐渐减小 B．逐渐增大
C．大小不变 D．先减小后增大
解析　以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图。根据平衡条件可知，F、N的合力F合与G大小相等、方向相反；根据三角形相似得：＝，且F合＝G，则有：N＝G，在使∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，G不变，则N不变，根据牛顿第三定律可知，轻杆BC所受的力大小不变，故C正确，A、B、D错误。

答案　C
正弦定理法
如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。

　(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定圆环上的A、B两点，O为圆心。O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为F1，绳OB与绳OA的夹角α＝120°，拉力大小为F2。将两绳同时缓慢顺时针转过75°，并保持两绳之间的夹角α始终不变，物体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是(　　)

A．F1逐渐增大 B．F1先增大后减小
C．F2逐渐减小 D．F2先减小后增大
解析　如图所示，以结点O为研究对象进行受力分析。由正弦定理得＝＝，其中α＝120°不变，则比值不变，γ由钝角变为锐角，sinγ先变大后变小，则F1先增大后减小，β由90°变为钝角，则sinβ变小，F2逐渐减小，故B、C正确，A、D错误。

答案　BC
[热点集训]
1．(2020·辽宁省辽南协作校高三一模)如图，水平桌面上有三个相同的物体a、b、c叠放在一起，a的左端通过一根轻绳与质量为m＝3 kg的小球相连，绳与水平方向的夹角为60°，小球静止在光滑的半圆形器皿中。水平向右的力F＝20 N作用在b上，三个物体保持静止状态。g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)

A．物体a对桌面的静摩擦力大小为10 N，方向水平向右
B．物体b受到物体a给的一个大小为20 N的摩擦力，方向水平向左
C．物体c受到向右的静摩擦力，大小为20 N
D．在剪断轻绳的瞬间，三个物体一定会获得向右的加速度
答案　B
解析　对小球受力分析，如图所示，由几何关系可知，N＝T，根据平衡条件，在竖直方向有2Tsin60°＝mg，则绳子拉力为T＝＝ N＝30 N。对a、b、c整体受力分析，水平方向根据平衡条件有T＝F＋f，则桌面对a的静摩擦力方向水平向右，大小为f＝T－F＝30 N－20 N＝10 N，根据牛顿第三定律可知，a对桌面的静摩擦力大小为10 N，方向水平向左，A错误；对b、c整体受力分析，水平方向根据平衡条件有F＝f′＝20 N，可知物体b受到物体a给的一个大小为20 N的摩擦力，方向水平向左，B正确；对c受力分析可知，物体c仅受重力和支持力，不受摩擦力，C错误；桌面对a、b、c整体的最大静摩擦力大小未知，则在剪断轻绳的瞬间，三个物体的运动状态未知，D错误。

2. (2020·安徽省马鞍山市高三三模)如图所示，固定有光滑竖直杆的三角形斜劈放置在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行。现给小滑块施加一个竖直向上的拉力F，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜劈，则(　　)

A．小球对斜劈的压力逐渐减小
B．斜劈对地面的压力保持不变
C．地面对斜劈的摩擦力逐渐减小
D．轻绳对滑块的拉力先减小后增大
答案　A
解析　对小球受力分析，受重力、斜劈的支持力N和轻绳的拉力T，如图甲所示，根据平衡条件可知，轻绳的拉力T逐渐增大，故轻绳对滑块的拉力逐渐增大，小球受到斜劈的支持力N逐渐减小，根据牛顿第三定律，小球对斜劈的压力逐渐减小，故A正确，D错误。对小球和滑块整体受力分析，受重力、斜劈的支持力N、杆的支持力N′、拉力F，如图乙所示，根据平衡条件，水平方向有N′＝Nsinθ，竖直方向有F＋Ncosθ＝G，由于N减小，故N′减小，F增大；对小球、滑块和斜劈整体受力分析，根据平衡条件，竖直方向有F＋N地＝G总，由于F增大，故N地减小，根据牛顿第三定律，斜劈对地面压力逐渐减小；整体在水平方向不受力，故地面对斜劈的摩擦力始终为零，B、C错误。