1、
2022高考数学真题分类汇编
十、立体几何
一、单选题
1.（2022·全国甲（文、理）T4） 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
2.（2022·全国甲（文）T9） 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A. B. AB与平面所成的角为
C. D. 与平面所成的角为
3.（2022·全国甲（文）T10） 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A. B. C. D
2、
4.（2022·全国甲（理）T7） 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A. B. AB与平面所成的角为
C. D. 与平面所成的角为
5.（2022·全国甲（理）T8） 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A. B. C. D.
6.（2022·全国甲（理）T9） 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（
3、 ）
A. B. C. D.
7.（2022·全国乙（文）T9） 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面
8.（2022·全国乙（文）T12） 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A. B. C. D.
9.（2022·全国乙（理）T7） 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面
10.（2022·全国乙（理）T9） 已知球O的半径为1，四
4、棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A. B. C. D.
11.（2022·新高考Ⅰ卷T4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A. B. C. D.
12.（2022·新高考Ⅰ卷T8） 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
5、 B. C. D.
13.（2022·新高考Ⅰ卷T9） 已知正方体，则（ ）
A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为
14.（2022·新高考Ⅱ卷T7）正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
15.（2022·新高考Ⅱ卷T11） 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
16.（2022·北京卷T9） 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构
6、成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
17. （2022·浙江卷T8）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A. B. C. D.
三、解答题
1.（2022·全国甲（文）T19） 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
（1）证明：平面；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
2.（2022·全国甲（理）T18） 在四棱锥
7、中，底面．
（1）证明：；
（2）求PD与平面所成的角的正弦值．
3.（2022·全国乙（文）T18） 如图，四面体中，，E为AC的中点．
（1）证明：平面平面ACD；
（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
4.（2022·全国乙（理）T18） 如图，四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
5.（2022·新高考Ⅰ卷T19） 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
6.（2022
8、·新高考Ⅱ卷T20） 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
7.（2022·北京卷T17）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
8.（2022·浙江卷T19） 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
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