2021北京高三(上)期中数学汇编：指数函数、对数函数与幂函数.docx

2021北京高三（上）期中数学汇编
指数函数、对数函数与幂函数
一、单选题
1．（2021·北京四中高三期中）对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使在和上均有零点，则称为的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（       ）
A． B．
C． D．
2．（2021·北京·新农村中学高三期中）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量，地震释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，已知两次地震的里氏震级分别为级和级，若它们释放的能量分别为和，则的值所在的区间为（    ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
3．（2021·北京市第三十五中学高三期中）下列函数中在其定义域上既是偶函数又在上单调递减的是（    ）
A． B．
C． D．
4．（2021·北京四中高三期中）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（    ）
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．（2021·北京一七一中高三期中）基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型；描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（    ）
A．3.5天 B．2.6天 C．1.8天 D．1.2天
6．（2021·北京市房山区良乡中学高三期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
7．（2021·北京市第五中学通州校区高三期中）下列函数中，是偶函数且值域为的是（    ）．
A． B．
C． D．
8．（2021·北京朝阳·高三期中）已知函数若存在，使函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
9．（2021·北京十五中高三期中）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间内有零点的函数是（    ）
A． B． C． D．
10．（2021·北京十四中高三期中）函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则（    ）
A． B． C． D．
11．（2021·北京市房山区良乡中学高三期中）函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
12．（2021·北京市第五中学通州校区高三期中）函数的图象与函数的图象的交点个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．（2021·北京市丰台区新北赋学校高三期中）设x，y是实数，则“，且”是“”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2021·北京市第四十三中学高三期中）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
15．（2021·北京十四中高三期中）渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度（以鱼肉内的主甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏．已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t（分）满足的函数关系式为若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（    ）
参考数据:
A．33分钟 B．43分钟 C．50分钟 D．56分钟
16．（2021·北京一七一中高三期中）若函数 则函数的值域是（    ）
A． B． C． D．
17．（2021·北京市第三中学高三期中）已知，，，则实数，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
18．（2021·北京市房山区良乡中学高三期中）函数的零点一定位于区间
A．（1, 2） B．（2, 3） C．（3, 4） D．（4, 5）
19．（2021·北京市丰台区新北赋学校高三期中）已知，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
二、填空题
20．（2021·北京四中高三期中）函数的定义域是_________.
21．（2021·北京·新农村中学高三期中）设函数，则满足的的取值范围是___________.
22．（2021·北京市第十三中学高三期中）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量(单位：焦耳)与地震里氏震级之间的关系为.已知两次地震的里氏震级分别为级和级，若它们释放的能量分别为和，则_____________.
23．（2021·北京市第三中学高三期中）已知函数，若，则的取值范围是__________．
24．（2021·北京海淀·高三期中）已知函数，则函数的零点个数为__________.
25．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三期中）已知函数则________；的值域为_______．
26．（2021·北京通州·高三期中）已知，若，则______．
27．（2021·北京朝阳·高三期中）函数的定义域为________
28．（2021·北京市第十三中学高三期中）已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是________________.
三、双空题
29．（2021·北京市第四十三中学高三期中）已知函数则_______；的最小值为____．

参考答案
1．B
【分析】根据函数存在“折点”的条件，对每一选项逐一判断即可.
【详解】对于A选项，，所以 没有零点，
从而没有“折点”，故A不符合题意；
对于B选项，当时，，
因为 单调递增，所以在上有零点，
又因为是偶函数，所以在上有零点，
从而 存在“折点”，故B符合题意；
对于C选项， 因为，所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极大值，
在处取得极小值，
而，所以在上只有一个零点，所以C不符合题意；
对于D选项，因为，令解得，只有一个零点，故D选项不符合题意；
故选：B
2．B
【分析】利用对数的运算可求得结果.
【详解】由题意可得，两式作差得，
所以，，
因为，则，故.
故选：B.
3．C
【分析】根据函数定义域，单调性及奇偶性的定义直接判断.
【详解】对于A选项，函数是定义域为的偶函数，且函数在上单调递增，A选项错误；
对于B选项，函数是定义域为的非奇非偶函数，B选项错误；
对于C选项，函数是定义域为上的偶函数，且函数在上单调递减，C选项正确；
对于D选项：函数是定义域为的非奇非偶函数；
故选：C.
4．C
【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．
【详解】要得到函数的图象，则只需要把函数的图象向左平移个单位长度，即可.
故选：C．
5．C
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，
所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：C.
6．A
【分析】根据对数函数的单调性及指数函数值可得结论．
【详解】,
，，
所以．
故选：．
7．D
【分析】分别判断每个选项函数的奇偶性和值域即可.
【详解】对A，，即值域为，故A错误；
对B，的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，故B错误；
对C，的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，故C错误；
对D，的定义域为，，故是偶函数且，即值域为，故D正确.
故选：D.
8．C
【分析】画出函数图象，题目等价于存在，使得与恰有三个交点，数形结合即可求解.
【详解】画出的函数图象如下，当时，的图象为向上或向下平移个单位得到，
存在，使函数恰有三个零点等价于存在，使得与恰有三个交点，
观察图形可得，当时，与恰有三个交点，满足题意，
当时，要存在，使与恰有三个交点，需满足，即，
综上，实数的取值范围是.
故选：C.

9．B
【分析】由题可判断函数的单调性，再结合零点存在定理即得.
【详解】对于A，为减函数，故A错误；
对于B，为增函数，且时，，时，函数在区间内有零点，故B正确；
对于C，，在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D，为增函数，时，，时，函数在区间内没有零点，故D错误.
故选：B
10．C
【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可．
【详解】解：关于轴对称的函数为，即，
然后向左平移一个单位得到，
得，即，
故选：C．
11．A
【分析】由函数有意义，得到，即可求得函数的定义域.
【详解】解：由题意，函数有意义，则满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
12．C
【分析】作出函数图像,数形结合即可得答案.
【详解】解：由于函数图像是由函数图像向左平移个单位得到，进而函数在定义域内单调递增，且过定点，渐近线为，
函数，故函数对称轴为，顶点坐标为，开口向上，
所以作出的图像如图，

故图像有两个交点.
故选：C
【点睛】本题考查对数函数的图像，考查数形结合思想，解题的关键在于根据函数性质作出函数图像，是基础题.
13．A
【解析】首先判断“，且”能否推出 “；再判断
能否推出“，且”，利用充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】若“，且”,则，，
所以“，且”是“充分条件；
若，则，可得，但得不出“，且”，如，可得，所以
得不出“，且”，
所以“，且”是“充分不必要条件；
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能否推出结论，结论能否推出条件.
14．C
【解析】判断函数的单调性，以及（2），（3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．
【详解】函数，是增函数且为连续函数，
又（2），
（3），
可得
所以函数包含零点的区间是．
故选：．
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
15．A
【分析】由题意可得：，可得的解析式，再令，利用对数的运算性质求解可得答案.
【详解】解：由题意可得：，解得，
故：
令，可得，两边同时去对数，
故分钟，
故选：A
【点睛】本题主要考查指数型函数模型的实际应用，考查学生数学建模的能力与计算能力，属于中档题.
16．A
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可求出答案.
【详解】当时，单调递增，，
当时，单调递减，，
所以函数的值域是：
故选：A
【点睛】本题主要考查分段函数求值域，求出每段函数的值域，再求并集即可，属于基础题.
17．B
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性容易得出，从而可得出，，的大小关系．
【详解】解：，，，
．
故选：．
【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．
18．B
【详解】试题分析：因为，，所以，根据根的存在性定理可知，函数的零点在区间内.
考点：零点存在性定理.
19．D
【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
20．.
【分析】根据函数的解析式列出不等式组，进而解出答案即可.
【详解】由题意，.
故答案为：.
21．
【分析】分、和三种情况解不等式即可求解.
【详解】当即时，即，可得，
此时无解，
当即时，即，所以，
令，则在上单调递增，，
所以恒成立，所以符合题意，
当即时，即恒成立，所以符合题意，
综上所述：满足不等式的的取值范围是，
故答案为：.
22．##
【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．
【详解】，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：
23．
【分析】画出函数图象，可得，，再根据基本不等式可求出.
【详解】画出的函数图象如图，不妨设，
因为，则由图可得，
，可得，即
又，当且仅当取等号，因为，所以等号不成立，
所以解得，即的取值范围是.
故答案为：.

24．2
【分析】根据给定条件直接解方程即可得函数的零点个数.
【详解】解方程，当时，，而，于是得，即，
当时，，解得，
所以函数的零点个数为2.
故答案为：2
25．     1    
【分析】第一空直接代入即可；第二空需分情况讨论（1）求当时的值域，（2）求当时的值域，最后取两值域的并集即可．
【详解】解：；
当时，，
当时，，
所以的值域为
故答案为：1；．
26．
【解析】先由指数式化为对数式可得，，再利用即可求的值.
【详解】由，可得：，，
所以则，
故答案为：
27．
【解析】保证真数大于零即可.
【详解】故
故定义域为：
故答案为：
28．
【详解】根据可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在是必须是，当m=0时，不能做到f(x)在时，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为，为保证条件成立，只需，和大前提m<0取交集结果为；
又由于条件2的限制，，
可分析得出在，
因此-4应该在两个根之间，当时，，解得交集为空，舍．
当m=-1时，两个根同为，舍．
当时，，解得，所以
综上所述，．
【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．
29．     ##0.5     ##0.5
【分析】根据函数，先求得，再求即可；分和讨论求解最小值.
【详解】因为函数所以，；
当时，，
当时，，
的最小值为，
故答案为：，

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