2024高考物理大一轮复习题库-第4讲-万有引力定律及应用.docx

第4讲　万有引力定律及应用

一、开普勒三定律

定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等

开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
＝k，k是一个与行星无关的常量
二、万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式

F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
三、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
(2)第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
(4)第一宇宙速度的计算方法
由G＝m得v＝；
由mg＝m得v＝。
2．第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。
3．第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。
【自测 (多选)(2020·江苏卷，7)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有(　　)
A．由v＝可知，甲的速度是乙的倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍
答案　CD
解析　两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由＝，可得v＝，则乙的速度是甲的倍，选项A错误；由＝ma，可得a＝，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B错误；由F＝，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的，选项C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2倍，选项D正确。

命题点一　开普勒三定律的理解和应用
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。
【例1 (2021·山东潍坊市模拟)中国首个火星探测器“天问一号”，已于2021年2月10日成功环绕火星运动。若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳同方向做圆周运动，运行过程中火星与地球最近时相距R0、最远时相距5R0，则两者从相距最近到相距最远需经过的最短时间约为(　　)
A．365天 B．400天
C．670天 D．800天
答案　B
解析　设火星轨道半径为R1，公转周期为T1，地球轨道半径为R2，公转周期为T2，依题意有R1－R2＝R0，R1＋R2＝5R0，解得R1＝3R0，R2＝2R0，根据开普勒第三定律有＝，解得T1＝年，设从相距最近到相距最远需经过的最短时间为t，有ω2t－ω1t＝π，ω＝，代入数据可得t＝405天，故选项B正确。
【针对训练1】 (多选)如图1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中(　　)

图1
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
答案　CD
解析　由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。
命题点二　万有引力定律的理解
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
2．星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。
【真题示例2 (2021·山东卷)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)

图2
A．9∶1 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
答案　B
解析　悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小等于它们所受的万有引力，则＝＝··＝9×2×＝，故B正确。
【针对训练2】 (2020·全国Ⅰ卷，15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
答案　B
解析　由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝G，在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝G，二者的比值＝＝0.4，B正确，A、C、D错误。
命题点三　万有引力定律的应用
1．天体质量和密度的计算
类型
方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质
量
的
计
算
利用运
行天体
r、T

G＝mr
m中＝
只能得到中心天体的质量

r、v
G＝m
m中＝
v、T
G＝m，G＝mr
m中＝
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝
m中＝
—
密
度
的
计
算
利用运
行天体
r、T、R
G＝mr
m中＝ρ·πR3
ρ＝
当r＝R时，ρ＝
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝，m中＝ρ·πR3
ρ＝
—
2.解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
＝m＝mω2r＝m＝man。
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)。
3．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
　中心天体质量和密度
【真题示例3 (2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(　　)
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
答案　D
解析　根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得＝m，解得m地＝，D正确；由于核心舱质量在运算中被约掉，故无法通过核心舱质量求解地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由＝mω2r得m地＝，且ω＝，r约不掉，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误。
【针对训练3】 (多选)(2021·八省联考辽宁卷)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G忽略月球自转的影响。下列选项正确的是(　　)
A．月球平均密度为
B．月球平均密度为
C．月球表面重力加速度为
D．月球表面重力加速度为
答案　BD
解析　根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得m月＝，月球体积V＝πR3，所以月球平均密度ρ＝＝，故B项正确，A项错误；根据月球表面物体的重力等于万有引力，有G＝mg月，又m月＝，解得g月＝，故D项正确，C项错误。
　宇宙速度
【真题示例4 (2020·北京卷，5)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是(　　)
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案　A
解析　火星探测器前往火星，脱离地球引力束缚，还在太阳系内，发射速度应大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A正确，B错误；万有引力提供向心力，则有＝，解得地球的第一宇宙速度为v1＝，所以火星的第一宇宙速度为v火＝v地＝v地，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；万有引力近似等于重力，则有＝mg火，解得火星表面的重力加速度，g火＝＝g地＝g地，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。
【针对训练4】 (多选)(2021·湖南衡阳市联考)2020年11月24日，长征五号运载火箭搭载“嫦娥五号”探测器成功发射升空并将其送入预定轨道，11月28日，“嫦娥五号”进入环月轨道飞行，12月17日凌晨，“嫦娥五号”返回器携带月壤着陆地球。假设“嫦娥五号”环绕月球飞行时，在距月球表面高度为h处，绕月球做匀速圆周运动(不计周围其他天体的影响)，测出飞行周期T，已知万有引力常量G和月球半径R。则下列说法正确的是(　　)
A．“嫦娥五号”绕月球飞行的线速度为
B．月球的质量为
C．月球的第一宇宙速度为
D．月球表面的重力加速度为
答案　AC
解析　“嫦娥五号”绕月球飞行的轨道半径为(R＋h)，所以飞行的线速度为v＝，故A正确；“嫦娥五号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G＝m()2(R＋h)，解得月球的质量为m月＝，故B错误；月球第一宇宙速度为绕月球表面运行的卫星的速度，由牛顿第二定律得G＝m，解得月球的第一宇宙速度为v＝，故C正确；在月球表面，重力等于万有引力mg＝G，月球表面的重力加速度为g月＝，故D错误。
　　　　　　双星模型问题
1． 定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图3所示。

图3
2．特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝m1ωr1
＝m2ωr2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。
(5)双星的运动周期T＝2π。
(6)双星的总质量m1＋m2＝。
【真题示例5 (多选)(2018·全国Ⅰ卷)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案　BC
解析　由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝ s，两中子星的角速度均为ω＝，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有G＝m1ω2r1、G＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A错误，B正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。

对点练 开普勒三定律的理解和应用
1．为了探测引力波天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为(　　)
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
答案　C
解析　由开普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，C正确。
2．(2020·山东省等级考模拟)2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为(　　)
A. R0 B. R0
C. R0 D. R0
答案　A
解析　由开普勒第三定律可得＝，解得R＝R0，故A正确，B、C、D错误。
3．(2021·全国甲卷，18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为(　　)
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
答案　C
解析　在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝mR火，得T＝，根据开普勒第三定律，有＝，代入数据解得l远≈6×107 m，C正确。
对点练 万有引力定律的理解
4．一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R。则飞船所在处的重力加速度大小(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力，有
在地球表面＝mg
在离地面的高度为H处＝mg′
解得g′＝，故C正确。
对点练 万有引力定律的应用
5．(多选)在万有引力定律建立的过程中，“月—地检验”证明了维持月球绕地球运动的力与地球对苹果的力是同一种力。完成“月—地检验”需要知道的物理量有(　　)
A．月球和地球的质量
B．引力常量G和月球公转周期
C. 地球半径和“月—地”中心距离
D．月球公转周期和地球表面重力加速度g
答案　CD
解析　地球表面物体的重力等于万有引力，有
mg＝G，即gR2＝Gm地
根据万有引力定律和牛顿运动第二定律，有
G＝ma
可算出月球在轨道处的引力加速度为
a＝G＝
根据月球绕地球公转的半径、月球的公转周期，由月球做匀速圆周运动可得
a＝
代入数值可求得两加速度吻合，故A、B错误，C、D正确。
6. 中国绕月卫星“龙江二号”是全球首个独立完成地月转移、近月制动、环月飞行的微卫星，2019年2月4日，“龙江二号”成功拍下月球背面和地球的完整合照。已知“龙江二号”距离月球表面h处环月做圆周运动的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，据此不可求的物理量是(　　)
A．“龙江二号”的质量
B．“龙江二号”的线速度大小
C．月球的质量
D．月球表面的重力加速度大小
答案　A
解析　根据万有引力提供向心力可知G＝m()2(R＋h)，“龙江二号”的质量不可求出，但月球质量可求出，故A错误，C正确；根据T＝可求出其运动的线速度，故B正确；根据G＝m0g且m月也为已知量，可求出月球表面的重力加速度，故D正确。
7．(多选)(2021·山东济南市模拟)2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，探测器顺利进入近火点高度约400千米，周期约10个地球日的环火椭圆轨道，轨道如图1所示，“天问一号”成为我国第一颗人造火星卫星。已知火星的直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的10%，自转周期约为一个地球日，关于火星和天问一号，下列说法正确的是(　　)

图1
A．天问一号在近火点的速度比远火点速度大
B．天问一号在远火点的速度比火星的第一宇宙速度大
C．火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度
D．根据以上信息可以估算出火星的密度
答案　AC
解析　由开普勒第二定律可知，天问一号在近火点的速度比远火点的速度大，A正确；所有卫星的运行速度不可能大于火星的第一宇宙速度，可知天问一号在远火点的速度比火星的第一宇宙速度小，B错误；因为火星的直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的10%，由公式＝mg可知，g火＝g地，火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，C正确；由于不知道火星的半径大小，故不能估算出火星的密度，D错误。

8．宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图2所示。若A、B两星球到O点的距离之比为3∶1，则(　　)

图2
A．星球A与星球B所受引力大小之比为1∶3
B．星球A与星球B的线速度大小之比为1∶3

C．星球A与星球B的质量之比为3∶1
D．星球A与星球B的动能之比为3∶1
答案　D
解析　星球A所受的引力与星球B所受引力就是二者之间的万有引力，大小是相等的，故A错误；双星系统中，星球A与星球B转动的角速度相等，根据v＝ωr，则速度大小之比为3∶1，故B错误；A、B两星球做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提供，可得G＝mAω2rA＝mBω2rB，则星球A与星球B的质量之比为mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，故C错误；星球A与星球B的动能之比为＝＝＝，故D正确。
9．(2021·全国乙卷，18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图3所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(　　)

图3
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
答案　B
解析　由万有引力提供向心力有＝mR，整理得＝，可知只与中心天体的质量有关，则＝，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正确。
10．(2020·海南卷， 7)2020年5月5日，长征五号B运载火箭在中国文昌航天发射场成功首飞，将新一代载人飞船试验船送入太空，若试验船绕地球做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，已知地球半径为R，万有引力常量为G，则(　　)
A．试验船的运行速度为
B．地球的第一宇宙速度为
C．地球的质量为
D．地球表面的重力加速度为
答案　B
解析　由v＝得试验船的运行速度为v＝，故A错误；近地轨道卫星的速度等于第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力有G＝m，根据试验船受到的万有引力提供向心力有G＝m船()2(R＋h)，联立两式解得第一宇宙速度v＝，故B正确；根据试验船受到的万有引力提供向心力有G＝m船()2(R＋h)，解得m地＝，故C错误；地球重力加速度等于近地轨道卫星向心加速度，根据万有引力提供向心力有G＝mg，根据试验船受到的万有引力提供向心力有G＝m船()2(R＋h)，联立两式解得重力加速度g＝，故D错误。
11．(2020·全国Ⅲ卷)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意可知“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动的轨道半径为r＝，设月球的质量为m月，地球的质量为m地，“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动的速率为v，“嫦娥四号”的质量为m，则一质量为m′的物体在地球表面满足G＝m′g，而“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动满足G＝m，解得v＝，选项D正确。
12．(2021·5月贵阳模拟)2021年2月10日19时52分，“天问一号”探测器成功进入环绕火星的轨道，开启了我国首次火星探测之旅。假定探测器贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动，经时间t，探测器运动的弧长为s，探测器与火星中心连线扫过的圆心角为θ，已知引力常量为G，t小于探测器绕火星运行的周期，不考虑火星自转的影响，根据以上数据可计算出(　　)
A．探测器的环绕周期为
B．火星的质量为
C．火星表面的重力加速度大小为
D．火星的第一宇宙速度大小为
答案　C
解析　探测器的环绕周期为T＝＝，选项A错误；设火星的半径为R，质量为m火，探测器质量为m，根据G＝m得Gm火＝Rv2，其中R＝，v＝，联立解得m火＝，选项B错误；由G＝mg得g＝＝·＝，选项C正确；由题意可知探测器的速度即为火星的第一宇宙速度，大小为，选项D错误。