2023届广东省惠州市高三第二次调研考试数学试卷.docx

惠州市2023届高三第二次调研考试试题
数学
全卷满分150分，时间120分钟.
1. 已知集合, 集合, 则
A. B. C. D.
2. 设, 若复数(其中为虚数单位) 在复平面内对应的点位于实轴上, 则
A. 0 B. -1 C. 1 D.
3．从中任取2个不同的数，则的概率是
A． B． C． D．
4. 已知, 向量在上的投影向量为, 则
A. 4 B. 8 C. -8 D. -4
5. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为

A． B．16π C．18π D．

6. 记函数的最小正周期为. 若, 且的图象关于点中心对称, 则
A. 1 B. C. D. 3
7. 已知函数是定义域为的奇函数, 且当时,. 若函数在 上的最小值为 3 , 则实数的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，满足的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，则满足的关系式为
A． B． C． D．
二、多项选择题:本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9. 已知数列中,, 则下列说法正确的是
A. B. C. 是等比数列 D.
10. 设抛物线的焦点为, 准线为, 点为上一动点,为定点, 则下列结论正确的是
A. 准线的方程是.
B. 的最大值为 2 .
C. 的最小值为 7 .
D. 以线段为直径的圆与轴相切.
11. 下列说法正确的是
A. 数据 1,2,4,5,6,7,8,9的第 75 百分位数为 7 .
B. 若, 则.
C. 已知, 若, 则、相互独立.
D. 根据分类变量与的成对样本数据, 计算得到, 依据的独立性检验 , 可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05.
12.对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是
A． B． C． D．

三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分, 其中 16 题第一空 3 分, 第二空 2 分。
13. 的展开式中,的系数为_____(用数字作答)
14. 过点作圆的两条切线, 切点分别为、,则直线的方程为_____
15. 已知函数,若函数有3个零点,则实数的取值范围是_____
16. 已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于、（在的上方）两点，若，则双曲线的离心率为______；已知点是双曲线右支上任意一点，过点的直线分别与双曲线的两条渐近线交于点、，若，则双曲线的标准方程为______．
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 10 分)
已知数列中,是公差为 2 的等差数列.
(1) 求的通项公式;
(2) 设, 求数列的前项和.

18．(本小题满分 12 分)
如图，在底面ABCD是菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠DAB=，AB=2，CC1=2，E，F，G，H，N分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC，BC的中点，点Р在四边形EFGH内部(包含边界)运动.

(1)现有如下三个条件：条件①条件②条件③,请从上述条件中选择一个条件，能使PN∥平面BB1D1D成立并写出证明过程；（注：多次选择分别证明，只按第一次选择计分）
(2)求平面FGN与平面ADD1A1所成锐二面角的余弦值.
19．(本小题满分 12 分)
设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为，且.
(1)求B
(2)若，求的最小值，并判断此时的形状.
20．(本小题满分 12 分)
“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
每周参加活动天数
课后服务活动
1天
2~4天
5天
合计
仅参加学业辅导
10
11
4
25
仅参加体育锻炼
5
12
1
18
仅参加实践能力创新培养
3
12
1
16

(1)从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；
(2)从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；
(3)若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差、的大小关系（结论不要求证明）．

21. (本小题满分 12 分)
已知椭圆的右焦点为,上顶点为, 坐标原点为,, 点 在椭圆上.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设经过点且斜率不为 0 的直线与椭圆相交于、两点, 又点,, 若直线、 与轴的交点分别为、, 记的面积分别为, 求的值.
22. (本小题满分 12 分)
已知函数.
(1) 讨论函数的单调性;
(2) 若函数在处的切线方程为, 且当对于任意实数时, 存在正实数 , 使得, 求的最小正整数值.