第1讲-函数的旋转、两函数的对称问题(解析版).docx

第1讲 函数的旋转、两函数的对称问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2021•青岛开学）将函数的图象绕点逆时针旌转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为　　
A． B． C．1 D．
【解答】解：由，得，
原函数的图象是以为圆心，以为半径的圆的部分，
如图：

设过与圆相切的直线的斜率为，
则直线方程为，即．
由，解得．
要使对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大角满足，
，可得．
最大时的正切值为．
故选：．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数的概念，考查化归与转化、数形结合思想，属难题．
2．（2021春•池州期末）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中（1）的取值只可能是　　
A． B．1 C． D．0
【解答】解：由题意可得：
问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．
设处的点为，
的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，
旋转后的对应点也在的图象上，
同理的对应点也在图象上，
以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，
当（1）时，即，此时，不满足函数定义；
当（1）时，即，此时，不满足函数定义；
当（1）时，即，此时，，，，不满足函数定义；
故选：．

【点评】本题考查函数值的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查函数定义等基础知识，考查数形结合思想，是中档题
3．（2017春•新华区校级期末）将函数图象绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，函数图象如图所示，函数在，上为增函数，在，上为减函数．
设函数在处，切线斜率为，则（1）
，
（1），可得切线的倾斜角为，
因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转后的切线倾斜角最多为，也就是说，最大旋转角为，即的最大值为即．

故选：．

【点评】本题考查了导数的几何意义和函数的图象与图象变化等知识点，将函数图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是一个函数的图象，求角的最大值，属于中档题．
4．（2021春•徐汇区校级期中）2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人注目（如图①，而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界．数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：
如图②，平面上有两定点，，两动点，，且，绕点逆时针旋转到所形成的角记为．
设函数，，其中，，随着的变化，就得到了的轨迹，其形似“蝴蝶”．则以下4幅图中，点的轨迹（考虑蝴蝶的朝向）最有可能为　　

A．
B．
C．
D．
【解答】解：本题比较抽象，考虑特殊情况．
先考虑与共线的蝴蝶身方向，
令，，要满足，故排除，；
再考虑与垂直的方向，令，要满足，
故排除，
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：信息题，实际问题的处理，赋值法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5．（2021秋•上高县校级月考）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称，为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则　　
A． B． C．8084 D．8088
【解答】解：因为函数，
则，，
令，解得，且（1），
由题意可知，的拐点为，
故的对称中心为，
所以，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了函数的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
6．（2021春•齐齐哈尔期末）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则　　
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】解：，
，
令，得，
又（1），
所以的对称中心为，
所以，
所以

，
故选：．
【点评】本题考查函数新定义，解题中需要理清思路，属于中档题．
7．（2021•武侯区校级模拟）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知可得，方程在上有两解，即在上有解．
设，则，
令，得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增．
当时，取得最小值（1），
时，，时，，
实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查了导数的应用，函数零点与方程根的关系，属于中档题．
8．（2021春•海淀区校级期末若函数，，为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点，则实数的取值范围是　　
A． B．，
C． D．
【解答】解：根据题意，若函数，为自然对数的底数）
与的图象上存在关于轴对称的点，
则方程，
即方程在区间上有两组解，
设函数，其导数
，
又由，在有唯一的极值点．
分析可得：当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
故函数有最小值（1），
又由，（e），比较可得（e），
故函数有最大值（e）．
故函数在区间上的值域为，；
若方程在区间上有两组解，
必有，则有，
则的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于较难题型．
9．函数定义在上，已知的图象绕原点旋转后不变，则关于方程的根，下列说法正确的是　　
A．没有实根 B．有且仅有一个实根
C．有两个实根 D．有两个以上的实根
【解答】解：函数定义在上，的图象绕原点旋转后不变，
与其反函数是同一个函数，
关于对称，原点是它的对称点，
当时，，，
解得，是唯一解．
方程有且仅有一个实数根．
故选：．
【点评】本题考查实数的根的判断，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
二．多选题（共3小题）
10．（2021•沈河区校级四模）将函数的图象绕坐标原点顺时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图象，则的可能取值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：要使曲线仍然是一个函数的图象，则需满足在旋转过程中，曲线的任意切线的倾斜角小于等于，
由，则，，当且仅当时，取得最小值，即在时出的切线的斜率最小，
此时倾斜角为，
故，，
故选：．
【点评】本题考查了导数的几何意义，考查了转化与化归思想，属于中档题．
11．（2021秋•苍南县校级月考）取整函数：不超过的最大整数，如，，，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有　　
A．， B．，
C．，，，则 D．，，
【解答】解：根据题意：对于选项：当时，，，故选项错误．
对于选项：当时，．故选项正确．
对于选项：只要满足的整数或所取的整数相同，则，故选项正确．
对于选项：当，，所以，，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：数的取整问题，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
12．（2021•雨花区校级模拟）已知函数，，且，函数，的图象绕坐标原点顺时针旋转所得新的函数图象与原函数图象重合，其中可以取任意正整数，则的值不可能为　　
A．0 B． C． D．
【解答】解：若，则通过连续顺时针旋转，依次可得,
，此时 对应,不符合函数概念，所以选项不可能对，

同理选项也不可能对，而有可能成立，
故选：．
【点评】本题考查函数的概念，一个只能对应一个，考查的方式比较创新，属于难题．
三．填空题（共8小题）
13．（2021秋•天心区校级月考）设函数．
（1）该函数的最小值为　2　；
（2）将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则的取值范围是　　．
【解答】解：（1）先画出函数的图象
由图可知，该函数的最小值为 2．
（2）由图可知，
当图象绕坐标原点顺时针方向旋转角大于等于时，
曲线都不是一个函数的图象
则的取值范围是：，．
故答案为：2；，．

【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的能力，属于基础题．
14．（2021秋•岳麓区校级期中）设，，为实数，，．记集合，，，，若，分别为集合元素，的元素个数，则下列结论可能的是　①②③　
①且②且③且④且．
【解答】解：方程若有实数根，则方程也有实数根，且相应的互为倒数，
且若，则方程与方程的根也互为倒数．
若，则满足且，故①正确；
若，，，则满足且，故②正确；
若，，，则满足且，故③正确；
若．则方程有三个不同的实根，则他们的倒数也不同，故，则④错误．
故答案为①②③．
【点评】本题考查了集合中元素的个数及集合元素的特征，同时考查了二次方程的解，属于中档题．
15．（2021秋•西城区校级期中）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数．
（1）若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则（1）　是　（填是或否）可能为1．
（2）若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则 （1）可能取值只能是 　　．
①
②
③
④0
【解答】解：（1）由题意得到：问题相当于圆上由4个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当（1）
（2）通过代入，当（1），，0时
此时得到的圆心角为，，0，
然而此时或者时，都有2个与之对应，
而我们知道函数的定义就是要求一个只能对应一个，
因此只有当，此时旋转，
此时满足一个只会对应一个，
因此答案就选：②．
故答案为：1；②．
【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．
16．（2021•香洲区校级模拟）已知函数的图象关于直线对称，则　8　；的最大值为 　　．
【解答】解：由题意，函数的图象关于直线对称，
则且（1），
所以，解得，，
所以，
则，
令，可得，
当或时，，则单调递增，
当或时，，则单调递减，
因为，
所以函数的最大值为16．
故答案为：8；16．
【点评】本题考查了函数对称性的应用，利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的最值，考查了学生逻辑思维能力与转化化归能力，属于中档题．
17．（2021•云南模拟）已知函数，，若函数与，的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是 　，　．
【解答】解：函数与，的图象上至少存在一对关于轴对称的点，
等价于在，有零点，
令，
则，
所以在，上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
则（1），又（1），
，（4），
因为（4），
所以（4），
则（4），
所以（4）①，
（1）②，
解得，
即的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查函数图象的应用，函数的零点与方程根的关系，利用导数研究闭区间上函数的最值，综合性很强，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题．
18．（2021春•大同期中）已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为　，　．
【解答】解：函数关于轴对称的函数为，
若函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，
只需要方程有解，方程可化为，
令，有，
由函数单调递增，且（1），可得函数的减区间为，增区间为，
可得，
当时，，，，可得函数的值域为，，
故实数的取值范围为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数与方程的应用，考查构造法的应用，是难题．
19．（2021•景德镇模拟）对于定义域为的函数，若满足（1）；（2）当，且时，都有；（3）当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：
①；②；③；④，则“偏对称函数”有　1　个．
【解答】解：由（2）可知，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以在上不单调，故不满足条件（2），
所以不是“偏对称函数”；
，由复合函数的单调性可知在上单调递减，故不满足条件（2），
所以不是“偏对称函数”；
对于，，所以函数为偶函数，
取，，则，但，不满足条件（3），故不满足条件（3），
所以不是“偏对称函数”；
对于，，满足条件（1），
在上，为减函数，在上，为增函数，满足条件（2），
令，，在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
当，且时，，
所以，
即，满足条件（3），
所以是“偏对称函数”，
所以“偏对称函数”有1个．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查新定义，考查导数与单调性的关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．
20．（2021春•连云港期末）曲线绕坐标原点逆时针旋转后得到的曲线的方程为　　．
【解答】解：设曲线上一点
绕坐标原点逆时针旋转后
对应点的坐标为，
则，
即，
即，
即，
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是函数图象的旋转变换，正确理解点的旋转变换公式，是解答的关键．