2023高考数学二轮复习-专题2---第3讲-三角恒等变换与解三角形(学生版).docx

第3讲　 三角恒等变换与解三角形
【要点提炼】
考点一　三角恒等变换
1．三角求值“三大类型”
“给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化．
【热点突破】
【典例】1　(1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(　　)
A.　 B. C. D.
(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)
A. B. C. D.
【方法总结】
　(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
【拓展训练】1　(1)已知α∈，β∈，tan α＝，则(　　)
A．α＋β＝ B．α－β＝
C．α＋β＝ D．α＋2β＝
(2)(tan 10°－)·＝________.

【要点提炼】
考点二　正弦定理、余弦定理
1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
【热点突破】
考向1　求解三角形中的角、边
【典例】2　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝c.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝10，△ABC的面积S△ABC＝4，求a的值．

考向2　求解三角形中的最值与范围问题
【典例】3　(2020·新高考测评联盟联考)在：①a＝csin A－acos C，②(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2csin C这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝，而且________．
(1)求角C；
(2)求△ABC周长的最大值．

【拓展训练】2　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为(　　)
A．4π B．2π C．π D.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(1,3) C．(0,1] D．(1,2]
(3)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tan C＝，a＝b＝，BC边上的中点为D，则sin∠BAC＝________，AD＝________.
专题训练
一、单项选择题
1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
2．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于(　　)
A. B. C. D.
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，＝1，B＝，则a的值为(　　)
A.－1 B．2＋2
C．2－2 D.＋
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B＋bcos A＝2ccos C，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为(　　)
A．1＋ B．2＋
C．4＋ D．5＋
5．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于(　　)
A. B.
C.或 D.或
6．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c.若A＝120°，a＝1，则2b＋3c的最大值为(　　)
A．3 B. C．3 D.
二、多项选择题
7．(2020·临沂模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是(　　)
A．cos C＝ B．sin B＝
C．a＝3 D．S△ABC＝
8．已知0<θ<，若sin 2θ＝m，cos 2θ＝n且m≠n，则下列选项中与tan恒相等的有(　　)
A. B. C. D.
三、填空题
9．(2020·保定模拟)已知tan＝，则＝________.
10．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且＝，则A＝________.
11．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.

12．(2020·山东省师范大学附中月考)在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，且4a2＝b2＋2c2，则的最大值为________．

四、解答题
13．(2020·全国Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．

14．(2020·重庆模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)．
(1)求角C；
(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B>A；
条件②：cos B＝.