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解答题题型突破五　解析几何
(对应答案分册第50~52页)
　解析几何中的最值、范围问题
　　考向1　最值问题
圆锥曲线中的最值问题是高考的热点和难点,主要涉及两个类型:一是以圆锥曲线的定义与几何性质为背景的求最值问题;二是以直线和圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值问题.
(2022·连云港模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,点3,2在椭圆C上.A,B分别为椭圆C的上、下顶点,动直线l交椭圆C于P,Q两点,满足AP⊥AQ,AH⊥PQ,垂足为H.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求△ABH面积的最大值.

　　求解圆锥曲线中最值问题的两种方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:
(1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;
(2)代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.

　　【突破训练1】(2022·山东德州模拟)顺次连接椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点恰好构成了一个边长为7且面积为43的菱形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l与椭圆C相切于点A,过点O作OM⊥l,垂足为M,求△AMO面积的最大值.

　　考向2　范围问题
圆锥曲线中的范围问题是高考的热点和难点,主要涉及两个类型:一是以圆锥曲线定义与几何性质为背景的求范围问题;二是以直线和圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求范围问题.
(2022·山东烟台模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F是其右焦点,直线y=kx与椭圆交于A,B两点,|AF|+|BF|=8.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)设Q(3,0),若∠AQB为锐角,求实数k的取值范围.

　　圆锥曲线中范围问题的五个解题策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.

　　【突破训练2】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,D(0,2)为椭圆C短轴的一个端点,F为椭圆C的右焦点,线段DF的延长线与椭圆C相交于点E,且|DF|=3|EF|.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA与OB的斜率之积为-32,求OA·OB的取值范围.

　解析几何中的定值、定点问题
　　考向1　定点问题
圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂,高中阶段一般不涉及),是高考重点考查的考点和热点之一.其实质是当动直线或动圆变化时,这些直线或圆相交于一点,即这些直线或圆绕着定点在转动.
(2020年全国Ⅰ卷)已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG·GB=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程.
(2)证明:直线CD过定点.

　　求解圆锥曲线中定点问题的两种方法
(1)特殊推理法:先从特殊情况入手,求出定点,再证明定点与变量无关.
(2)直接推理法:①选择一个参数建立方程,一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k当成变量,将变量x,y当成常数,将原方程转化为kf(x,y)+g(x,y)=0的形式;②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立),得到方程组f(x,y)=0,g(x,y)=0;③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点,若定点具备一定的限制条件,可以特殊解决.

　　【突破训练3】已知圆M:x2+(y-2)2=1,直线l:y=-1,动圆P与圆M相外切,且与直线l相切.设动圆圆心P的轨迹为E.
(1)求E的方程.
(2)若点A,B是E上的两个动点,O为坐标原点,且OA·OB=-16,求证:直线AB恒过定点.

　　考向2　定值问题
圆锥曲线中的定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中,探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题,也是高考重点考查的考点和热点之一.其求解步骤一般如下:
一选:选择变量,一般为点的坐标、直线的斜率等.
二化:把要求解的定值表示成含上述变量的式子,并利用其他辅助条件来减少变量的个数,使其只含有一个变量(或者有多个变量,但是能整体约分也可以).
三定值:化简式子得到定值.由题目的结论可知要证明的定值的量必与变量的值无关,故求出的式子必能化为一个常数,所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值.

在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:x22-y24=1,椭圆C2:x2+y24=1,若M,N分别是C1,C2上的动点,且OM⊥ON,求证:点O到直线MN的距离是定值.

　　圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.
(2)两大解法:
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
②引进变量法:其解题流程为

　　【突破训练4】(2022·江西新余模拟)已知斜率为1的直线交抛物线C:y2=2px(p>0)于A,B两点,且弦AB中点的纵坐标为2.
(1)求抛物线C的标准方程.
(2)记点P(1,2),过点P作两条直线PM,PN,分别交抛物线C于M,N(M,N不同于点P)两点,且∠MPN的平分线与y轴垂直,求证:直线MN的斜率为定值.

　解析几何中的证明、探索性问题
　　考向1　证明问题
圆锥曲线中的证明问题,是高考的热点内容之一,常见的有位置关系方面的,如证明相切、垂直、过定点等;数量关系方面的,如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下,要多采用直接法证明,但有时也会用到反证法.
(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),右焦点为F(2,0),且离心率为63.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=3.

　　几何证明问题的解题策略
(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).
(2)解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质,直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用,代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.

　　【突破训练5】(2022·陕西咸阳模拟)如图,已知抛物线C:y2=8x的焦点是F,准线是l.
(1)写出焦点F的坐标和准线l的方程.
(2)已知点P(8,8),若过点F的直线交抛物线C于不同的两点A,B(均与P不重合),直线PA,PB分别交l于点M,N,求证:MF⊥NF.

　　考向2　探索性问题
探索性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型.若探究条件则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,若成立,则存在,否则不存在;若探究结论,则应先写出结论的表达式,再针对表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.
(2022·广东模拟)设椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数,且内切于圆x2+y2=24.
(1)求椭圆M的方程;
(2)已知R(x0,y0)是椭圆M上的一动点,从原点O引圆R:(x-x0)2+(y-y0)2=8的两条切线,分别交椭圆M于P,Q两点,直线OP与直线OQ的斜率分别为k1,k2,试探究|OP|2+|OQ|2是否为定值,并证明你所探究出的结论.

　　圆锥曲线中存在性问题的求解方法
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.

　　【突破训练6】如图,两条相交线段AB,PQ的四个端点都在椭圆x24+y23=1上,其中直线AB的方程为x=m,直线PQ的方程为y=12x+n.
(1)若n=0,∠BAP=∠BAQ,求m的值.
(2)探究:是否存在常数m,当n变化时,恒有∠BAP=∠BAQ?