1、2019-2021北京重点校高三（上）期中数学汇编
一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1．（2021·北京四中高三期中）若，则下列不等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三期中）已知，，且，，，那么的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2020·北京八中高三期中）已知圆：（，为正实数）上任意一点关于直线：的对称点都在圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2020·北京四中高三期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是
A． B． C． D．
5．（2019
2、·北京一七一中高三期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·北京·北师大实验中学高三期中）已知全集，集合，则=
A． B．
C． D．
7．（2019·北京一七一中高三期中）已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2021·北京一七一中高三期中）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_______后池水中药品的浓度达到最大.
9．（2020·北京·人大附中高三期中）已知，，且，则的最小值为_____.
三、
3、解答题
10．（2019·北京四中高三期中）已知：中，满足.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
参考答案
1．C
【分析】利用不等式的基本性质判断.
【详解】由，得，即，故A错误；
则，则，即，故B错误；
则，，所以，故C正确；
则，所以，故D错误；
故选：C
2．C
【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得，即可得答案.
【详解】根据题意，，，，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为1.
故选：
3．A
【分析】由题意可得直线过圆心，可得，的等量关系，然后利用基本不等式求最值即可求解．
【详解】由圆：可得圆心，
由题意可得，直线
4、经过圆的圆心，
则，从而，
所以，
当且仅当，时等号成立．
所以的最小值为.
故选：A.
4．D
【详解】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确．
考点：不等式的性质
5．C
【分析】先分别求出集合，，由此能求出．
【详解】解：集合，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用，属于基础题．
6．D
【解析】先计算集合，再计算，最后计算．
【详解】解：
，
，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了集合的交
5、补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题．
7．A
【详解】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此
，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
8．2
【详解】C＝＝5
当且仅当且t＞0，即t＝2时取等号
考点：基本不等式，实际应用
9．
【解析】由得，可得出，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】，，由得，.
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，同时要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础试题．
10．（Ⅰ）；
6、Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．
（Ⅱ）利用余弦定理写成关于角的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．
【详解】解：（Ⅰ）因为， 所以，
由正弦定理，得.
整理得.
所以.
在△中，. 所以，
；
（Ⅱ）由余弦定理，，
所以，
所以，当且仅当时取“=” .
所以三角形的面积.
所以三角形面积的最大值为.
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用，属于中档题．
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