2020北京理工大附中初三冲刺模拟数学(四)(教师版).doc

2020北京理工大附中初三冲刺模拟
数 学（四） 2020.07
(时间：120分钟)姓名 分数
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．下列各数中,比小的数是（ ）
A． B． C． D．
2．北京故宫的占地面积约为，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图的几何体中，主视图是中心对称图形的是（ ）

4．从一定高度抛一个瓶盖100次，落地后盖面朝下的有55次，则下列说法中错误的是（ ）
A．盖面朝下的频数是55
B．盖面朝下的频率是0.55
C．盖面朝下的概率不一定是0.55
D．同样的试验做200次，落地后盖面朝下的有110次
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在一个由个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形的面积比是（ ）
A． B．
C． D．
7.小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数,并绘制了直方图.根据图中信息,下列说法:
①这栋居民楼共有居民人;
②每周使用手机支付次数为次的人数最多;
③有的人每周使用手机支付的次数在次;
④每周使用手机支付不超过次的有人.
其中不正确的是（ ）
A.①② B.②③
C.③④ D.④
8.小明在暗室做小孔成像实验.如图1，固定光源（线段）发出的光经过小孔（动点）成像（线段）于足够长的固定挡板（直线）上，其中.已知点匀速运动，其运动路径由组成．记它的运动时间为的长度为，若关于的函数图象大致如图2所示，则点K的运动路径可能为
A． B．
C． D．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．
10．在圆中，如果的圆心角所对的弧长为，那么这个圆的半径是 .
11.写出一个开口向上且与轴交于点的二次函数的表达式 ．
12如图所示，边长为的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为______

13.若正多边形的一个内角是，则该正多边形的边数为 .
14．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接.若，则 °．
15．如果，那么代数式的值是 ．
16．2019年北京PM2.5平均浓度变化情况如图所示．根据统计图提供的信息，有下面三个推断：
①2019年北京PM2.5全年累计平均浓度值为51微克/立方米；
②2019年7月－10月，北京PM2.5平均浓度逐月持续下降；
③2019年下半年，北京PM2.5平均浓度最高的月份是11月．
其中合理的推断的序号是： ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题,每小题6分第27-28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17计算：
18解分式方程
19．已知：如图，在中，，点在上，且，过点作于点，过点作的垂线，交的延长线于点．
求证：．

20已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当为正整数时，求方程的根．

21．如图,四边形是平行四边形，，过点作，交的延长线于点.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，求的长.

22．在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点．
（1）求的值；
（2）点的横坐标为，且在直线上，过点作平行于轴的直线，交轴于点，交函数的图象于点．
①当时，用等式表示线段与的数量关系，并说明理由；
②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围．

23.为了解某社区居民掌握民法知识的情况，对社区内的甲、乙两个小区各500名居民进行了测试，从中各随机抽取50名居民的成绩（百分制）进行整理、描述、分析，得到部分信息：
a.甲小区50名居民成绩的频数直方图如下(数据分成5组:)：

b.上图中，组的前5名的成绩是：79 79 79 78 77
c.上图中，组的成绩如下：
82
83

84
85
85
86
86
86
86
86
86
86
86
87
87
87
88
88
89
89
d.两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上）、满分人数如下表所示：
小区
平均数
中位数
众数
优秀率
满分人数
甲
78.58
84.5
a
b
1
乙
76.92
79.5
90
40%
4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中的值；
（2）请估计甲小区500名居民成绩能超过平均数的人数；
（3）请尽量从多个角度，分析甲、乙两个小区参加测试的居民掌握民法知识的情况．

24．如图，是的切线，切点为是的直径，过点作于点，交于，连接，
．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
25．如图，点是射线上的一定点，点是线段上一动点，连接，作垂直，交直线于点．

小腾根据学习函数的经验，对线段的长度之间的关系进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整:
(1)对于点在上的不同位置，画图、测量，得到了线段的长度的几组值，如下表:

位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
BP/cm
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
PD/cm
2.00
1.22
0.98
1.56
2.43
3.38
4.35
BQ/cm
0.00
0.78
1.94
1.82
1.56
1.41
1.31
在的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数;
(2)在同一平面直角坐标系中，画出(1)中所确定的函数的图象;

(3)结合函数图象，解决问题:当时，长度范围是__________________.
26．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点，直线经过点，与轴交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求二次函数图象的对称轴；
（3）若二次函数的图象与射线恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围．

27．在中是外一点，点与点在直线的异侧.
（1）如图1，延长到，使，连接，请补全图形，求的度数；
（2）如图2，若点在直线上，请在图2中作出；
（3）请在图2中继续探究之间的数量关系并证明.

28．对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若图形上存在两个点，使得是边长为2的等边三角形，则称点是图形的一个“和谐点”．
已知直线．
（1）如图1，若的圆心，半径为．
①在点中，直线的和谐点是 ；
②若上存在直线的和谐点，求的取值范围；
（2）如图2，的半径为，若直线上恰好存在3个的和谐点，直接写出的值．

参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
B
B
D
C
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．．
10．6．
11．（不唯一）．
12.
13．8.
14．50．
15._____3____.
16.①③.
17计算：
………………………4分
……………5分
18.解：去分母，得………2分
整理，得．解得.………………………4分
经检验，是原方程的解．
所以原方程的解是………………………5分
19．证明：，
．
∴Ð．
∴Ð.………………………2分
在和中，

.………………………4分
………………………5分
20．解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
．
即．
.………………………2分
（2）且为正整数，
………………………3分
．
．………………………5分
21．（1）证明：
∵四边形是平行四边形，
．………………………………1分
，
∴四边形是平行四边形..……………………2分
.
∴四边形BDEC是菱形．………… 3分
（2）解：
由（1）得，.
………………4分
．…………… 5分
22．（1）∵函数的图象与直线交于点，
……………………………………2分
（2）①根据题意得，坐标为
∴点的坐标为，点N的坐标为.…………4分
.……………………5分
②.……………………………6分
23.（1）；……………………………………………2分
（2）根据题意可知，样本中甲小区居民成绩超过平均数的人数有31个，所以估计该小区居民成绩超过平均数的人数为．…………………………3分
（3）略．…………………………………5分
24.（1）证明：连接．
．…………………………1分
．
．
为的切线，
．……………………2分
．
]是的切线．……………3分
（2）解：，

．
，
．…………………4分

在中，…………………………5分
在中，…………………………6分
25．（1）；………………………………1分
（2）………………………4分
（3）或 ．………………………6分
26.（1）;……………………2分
（2）;…………………………4分
（3）且…………………………6分
27.（1）图略，40°…………………………2分
（2）如图3，…………………………4分

（3）…………………………5分
证明要点：
如图4，作，截，连接，作于，
易证

∴在直角三角形中，…………………………6分
又易证
可得
又在直角三角形中，
可得，…………………………7
28．解：(1)直线的和谐点是…………………………………2分
(2)如图1，直线与直线是直线的和谐点的轨迹.
直线与轴交于点，且与相切于点时，，则，所以此时.同理，直线与相切时，.
所以.…………………………5分
(3)如图2，.…………………………………7分

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