第46讲-解析几何中的四点共圆问题(原卷版).docx

第46讲 解析几何中的四点共圆问题
一、单选题
1．（2020·全国全国·模拟预测）已知，分别为双曲线（，）的左右焦点，点为双曲线右支上一点，直线交轴于点，且点，，，四点共圆（其中为坐标原点），若射线是的角平分线，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2020·河北·张家口市宣化第一中学高三月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上下顶点分别为，右顶点为，右焦点为，延长与交于点，若四点共圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．

二、多选题
3．（2021·山东菏泽·二模）已知，为双曲线C：x2–=1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P，使得PF1⊥PF2，直线PF2与y轴交于点Q，连接QF1，△PQF1，的内切圆圆心为I，则下列结论正确的有（ ）
A．F1，F2，P，I四点共圆 B．△PQF1的内切圆半径为1
C．I为线段OQ的三等分点 D．PF1与其中一条渐近线垂直
4．（2021·江苏海安·模拟预测）已知双曲线，为双曲线上一点，过点的切线为，双曲线的左右焦点，到直线的距离分别为，，则（ ）
A．
B．直线与双曲线渐近线的交点为，，则，，，四点共圆
C．该双曲线的共轭双曲线的方程为
D．过的弦长为5的直线有且只有1条

三、双空题
5．（2021·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线上不同的三点，，，满足，，且O，A，B，C四点共圆，则直线BC的方程是___________；四边形的面积为___________．

四、填空题
6．（2021·广西·模拟预测（理））过作与双曲线（，的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于、两点，若四点共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为______．
7．（2021·浙江·高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于A点，直线与y轴及直线l分别交于B点，C点，且A，B，C，O四点共圆，则此圆的标准方程是__________.

五、解答题
8．（2021·浙江省东阳市第二高级中学高二期中）已知椭圆的焦距为2，O为坐标原点，F为右焦点，点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l的方程为，AB是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M为弦的中点，直线MO交l于点P，过点O与AB平行的直线交/于点Q，直线PF交直线OQ于点R，直线QF交直线MO于点S．
①证明：O，S，F，R四点共圆；
②记△QRF的面积为，△QSO的面积为，求的取值范围．
9．（2021·吉林·梅河口市第五中学高二月考）已知双曲线：与点．
（1）是否存在过点的弦，使得的中点为；
（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆．
10．（2021·福建福州·模拟预测）已知斜率为的直线交椭圆于A，两点，的垂直平分线与椭圆交于，两点，点是线段的中点．
（1）若，求直线的方程以及的取值范围；
（2）不管怎么变化，都有A，，，四点共圆，求的取值范围．
11．（2021·重庆·高二期末）设动点与定点的距离和到定直线的距离的比是.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设动点的轨迹为曲线，不过原点且斜率为的直线与曲线交于不同的两点，，线段的中点为，直线与曲线交于,D两点，证明：，，，四点共圆.
12．（2021·北京·中央民族大学附属中学三模）已知椭圆的两焦点分别为、，椭圆上的动点满足，、分别为椭圆的左、右顶点，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若直线与交于点，与轴交于点，与的交点为，求证：、、、四点共圆.
13．（2021·上海黄浦·三模）已知直线交抛物线于两点.
（1）设直线与轴的交点为，若，求实数的值；
（2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆：
（3）记为抛物线的焦点，过抛物线上的点作准线的垂线，垂足分别为点，若的面积是的面积的两倍，求线段中点的轨迹方程.
14．（2021·四川泸州·三模（理））从抛物线上各点向轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线；
（2）过点的直线交曲线于两点、，线段的垂直平分线交曲线于两点、，探究是否存在直线使、、、四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．
15．（2021·四川泸州·三模（文））已知抛物线：（）上的点到其焦点的距离为1．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求直线：交抛物线于两点、，线段的垂直平分线交抛物线于两点、，求证：、、、四点共圆．
16．（2021·江苏·高二单元测试）已知直线交抛物线于两点．
（1）设直线与轴的交点为．若，求实数的值；
（2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆．
17．（2021·全国·高三专题练习（理））已知抛物线的焦点为F，准线为为坐标原点，过F的直线m与抛物线E交于两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线交于点M．
（1）若直线m的斜率为，求的值；
（2）设的中点为N，若四点共圆，求直线m的方程．
18．（2020·浙江丽水·高三月考）如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，以AB为直径的圆交x轴于M，N，且当轴时，．

（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线AN，AM分别交抛物线C于G，H（不同于A），直线AB交GH于点P，且直线AB的斜率大于0，证明：存在唯一这样的直线AB使得B，H，P，M四点共圆．
19．（2020·广西师范大学附属中学高三月考）已知椭圆C：的左､右顶点分别为A，B，离心率为，P是C上异于A，B的动点.
（1）证明：直线AP，BP的斜率之积为定值，并求出该定值.
（2）设，直线AP，BP分别交直线l：x=3于M，N两点，O为坐标原点，试问：在x轴上是否存在定点T，使得O，M，N，T四点共圆？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
20．（2020·甘肃·天水市第一中学二模（文））在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上上一点，且点的横坐标为，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线交于、两点，过点且与直线垂直的直线与准线交于点，设的中点为，若、、四点共圆，求直线的方程.
21．（2020·江西师大附中三模（理））已知椭圆上三点、、与原点构成一个平行四边形．
（1）若点是椭圆的左顶点，求点的坐标；
（2）若、、、四点共圆，求直线的斜率．

22．（2020·江苏南京·三模）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：(a＞b＞0)经过点(﹣2,0)和,椭圆C上三点A,M,B与原点O构成一个平行四边形AMBO.

（1）求椭圆C的方程；
（2）若点B是椭圆C左顶点,求点M的坐标；
（3）若A,M,B,O四点共圆,求直线AB的斜率.
23．（2020·江苏·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为右准线上一点．点在椭圆上，且．

（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．求椭圆的方程；
（2）若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
24．（2020·全国·一模（文））在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线E上一点，且点P的横坐标为2，.
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点F的直线m与抛物线E交于A、B两点，过点F且与直线m垂直的直线n与准线l交于点M，设AB的中点为N，若O、M、N、F四点共圆，求直线m的方程.
25．（2020·全国·高三专题练习（文））已知直线与轴，轴分别交于，，线段的中垂线与抛物线有两个不同的交点、．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在，使得，，，四点共圆，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
26．（2019·江苏·海安高级中学高三期中）如图，在平面直角坐标系中，已知为椭圆上异于长轴端点的一点，过与轴平行的直线交椭圆的两条准线于点，，直线，交于点.

（1）若与的面积相等，求椭圆的离心率；
（2）若，.
①求椭圆的标准方程；
②试判断点，，，是否四点共圆，并说明理由.
27．（2019·江苏江苏·高三专题练习）如图，已知椭圆C的方程为，为半焦距，椭圆C的左、右焦点分别为，椭圆C的离心率为．

（1）若椭圆过点，两条准线之间的距离为，求椭圆C的标准方程；
（2）设直线与椭圆C相交于，两点，且四点共圆，若，试求的最大值．