1、
2020-2022北京重点校高一（下）期末数学汇编
平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1．（2022·北京八十中高一期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·清华附中高一期末）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
3．（2022·北京·人大附中高一期末）在矩形中，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·清华附中高一期末）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·北京·101中学高一期末）在中，，点P是
2、的中点，则（ ）
A． B．4 C． D．6
二、填空题
6．（2022·北京·清华附中高一期末）已知向量，．若，则______．
7．（2021·北京市第十二中学高一期末）已知向量与的夹角为,,，则________.
8．（2020·北京·101中学高一期末）已知，，，则______.
三、解答题
9．（2022·北京市第十二中学高一期末）已知向量，，其中，.
（1）求，；
（2）求与夹角的大小.
10．（2021·北京·首都师大二附高一期末）在△ABC中.∠BAC=120°，AB=AC=1
（1）求的值；
（2）如图所示，在直角坐标系中，点A与原点重合，
3、边AB在x轴上，设动点P在以A为圆心，AB为半径的劣弧BC上运动.求的最小值.
四、双空题
11．（2020·北京师大附中高一期末）设向量，，则______；向量，的夹角等于______.
参考答案
1．C
【分析】求出向量的坐标，根据模的计算公式求得答案.
【详解】因为，
所以,
因此，，
故选：.
2．C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
3．B
【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标运算可表示出，结合范围可求得的取值范围.
【详解】以为坐标原点，正方向
4、为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，设，，，
，
，，即的取值范围为.
故选：B.
4．B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
5．C
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得；
【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则，，，
所以，，所以
故选：C
6．
【分析】依题意可得，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，且，
所以，解得；
故答案为：
7．
【解析】先求出，然后利用向量模的计算方法，可得结果.
【详解】因
5、为向量与的夹角为,
.
,,
,
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量模的计算，属基础题.
8．0
【解析】首先求出､的坐标，而后可求.
【详解】解：，，
.
故答案为：0.
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.
9．（1），；（2）.
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算可求得，的值；
（2）利用平面向量数量积的坐标运算求出的值，结合的取值范围可求得的值.
【详解】（1）由已知可得，，
所以，，
，因此，；
（2）由平面向量数量积的坐标运算可得，
，因此，.
10．（1）；（2）.
【分析】（1）由，，利用坐标公式求得数量积即可.
（2）设点坐标为，求得，利用三角函数的最值求得数量积的最值.
【详解】解：（1），，
.
（2）点在以为圆心，为半径的劣弧上运动，
设点坐标为，
又，，
，
又 ，则
，
故当时，有最小值.
11． 2
【解析】直接根据数量积的定义以及夹角的计算公式即可求解结论.
【详解】解：因为向量，，
故，，
故，
向量，的夹角满足；
因为，
故向量，的夹角等于.
故答案为：2，.
【点睛】本题考查数量积的计算和夹角的计算公式，属于基础题.
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