第20讲-数列的通项公式(解析版).docx

第20讲 数列的通项公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2021春•赤坎区校级月考）设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则它的通项公式是　　
A．100 B． C．101 D．
【解答】解：，
，

，
又，，即，
，
即，
又，，
，
故选：．
2．（2021•庐山区校级期中）已知数列，，满足：，若是首项为2，公比为2的等比数列，，则数列的前项的和是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，
，
，
，
两式相减得：，
，
当时，，
即满足上式，
数列的通项公式是，
，
，
数列的前项的和，①
，②，

故选：．
3．（2021•黄州区校级二模）数列满足，，则数列的前2021项的和为　　
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，由，可得
，
故．
，
，
，

．
各项相加，可得

，
．
设数列的前项的和为，则

．
故选：．
4．（2021•天水校级期末）已知数列中，，，则数列的通项公式为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：①
②，
①②得：，即：，
所以，所以
故选：．
5．（2021春•丽水期末）已知数列满足，，则数列的最小项为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为数列满足，，
所以：；
又；
所以：数列是首项为，公比为4的等比数列；
故；
；
；

；
上面等式相乘可得：；
又；
，；
当时符合等式；
故，
因为为正整数，故当或4时，数列取最小项为；
故选：．
6．（2021•福州一模）已知数列满足，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为数列满足，，
则，
所以，
所以，
令，
则，
两边取对数得，
又，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列．
所以，
所以：，
即，
从而，
将代入，
解得：，
故选：．
7．（2021•德州期末）对于数列，规定△为数列的一阶差分数列，其中△，对自然数，规定△为数列的阶差分数列，其中△△△．若，且△△，则数列的通项公式为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题中定义，可得，
即，即，
等式两边同时除以，得，
且，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，．
故选：．
二．填空题（共5小题）
8．（2021•广西月考）已知数列的首项为，设是数列的前项和，且，则　　．
【解答】解：，
，
，
，
，
是以为首项，以为公差的等差数列，
，
即．
故答案为：．
9．设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则　　，　　．
【解答】解：，2，3，，

，
又，
，
，
，
，，
故答案为：；．
10．（2021•山东月考）已知数列中，，其前项和满足，则　　；　　．
【解答】解：（1）数列中，，其前项和满足，
，解得．
（2）时，，
化为：，
．
数列是等差数列，公差为1，首项为2．
．
．
故答案为：，．
11．（2021•重庆模拟）设各项均为正数的数列的前项和满足，，则数列的前2021项和　　．
【解答】解：依题意，由，，可得
．
数列的各项均为正数，．
，．
当时，，
当时，．
，．
．

．
故答案为：．
12．（2021•江西月考）已知数列满足，．记，其中表示不超过的最大整数，求的值为　0　．
【解答】解：，，
可得，
，
即有，即，
若，可得，不成立，
则，且，
可得，同号，则，
可得，
则，
故答案为：0．
三．解答题（共35小题）
13．（2021•浙江月考）已知数列的各项都不为零，其前项和为，且满足：．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）是否存在满足题意的无穷数列，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）数列的各项都不为零且满足①
，解得（2分）
②，
②①得，
整理得到，（5分）
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
．（7分）
（2）根据（1）
可得或，（11分）
从第二项开始每一项都有两个分支，
通项为的数列满足题意，
使得（其他符合的答案类似给分）．（15分）
14．（2021•迎泽区校级月考）设数列的前项和为，已知，，，是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值．
【解答】解：（1），
，
，
变形为：，
数列是等比数列，首项为6，公比为4，
，

．
．
（2）．
数列的前项和．
．

．
15．（2021•殷都区校级月考）（1）已知数列满足，，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】解：（1）由，，
得，
，
，

，
累加得：
．
上式成立，
；
（2）
．
16．（2021•湖南模拟）在正项数列中，，，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】解：（1）由，
可得．
，
则数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以，
由于，可得；
（2），
则前项和
．
17．（2021•重庆三模）已知数列是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前项和为，，，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若 ____，求的前项和，并求的最小值．
从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题．
①数列满足：，；
②数列的前项和；
③数列的前项和满足：．
【解答】解：（1）设数列的公比为，则由，，所以，
因为，所以，
因为，，成等差数列，所以，
即，所以，所以，
所以．
（2）选择①：因为，，
所以，
所以；
；
；
；

所以，
当时也成立．
所以，
所以，
因为是递增的，
所以的最小值为，
选择②：由可知：
当时，，
当时，，验证当时亦满足此关系，
所以
所以
所以，
，
所以，
因为是递增的，所以的最小值，
选择③：因为，所
以，
两式相减得，
即，
所以
而，即
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以，
当为奇数时，由于，
故；
当为偶数时，由于，
故，
由在为偶数时单调递增，
所以当时，的最小值为．
18．（2021春•莱芜区校级月考）在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】证明：（1）数列中，，．
整理得（常数），
当时，，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
故，
则，
解：（2）由于，
故．
19．（2021•河西区二模）已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足，是和的等比中项．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求；
（3）设数列的通项公式，求；
【解答】解：（1），，
两式相减，整理得：，当时，有，解得，
数列是以6为首项，3为公比的等比数列，．
设数列的公差为，，是和的等比中项，，
即，解得或2，公差不为0，，故；
（2），；
（3），，
．
20．（2021•葫芦岛月考）在数列中，．
（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】解：（1）证明：数列中，，
可得，
数列为首项和公比均为2的等比数列，
可得，
则；
（2），
则前项和，
，
相减可得
，
化简可得．
21．（2021•秦州区校级月考）已知数列中，，．
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）求数列和的通项公式；
（3）为数列的前项和，求．
【解答】解：（1）证明：数列中，，．
所以，
所以（常数），
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由于数列是以为首项，2为公比的等比数列．
所以，
由于，
所以．
（3）由于，所以．
22．（2021•西城区校级月考）数列中，且．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅲ）求数列的前项和．
【解答】解：（Ⅰ）因为，，
所以，
，
．
（Ⅱ）因为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列．
，即．
数列的通项公式是．
（Ⅲ）数列的前项和．
23．（2021•赫山区校级期中）已知数列中，，．
（1）求证是等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和；
【解答】解：（1）证明：，，
可得，
可得是首项为3，公比为3的等比数列，
即有，
可得；
（2）前项和，
可得．
24．（2021•沈阳月考）在等差数列中，已知，公差，其前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的表达式．
【解答】解：（1）根据题意，当时，，
又，则，解得，
所以等差数列的公差，
所以；
（2）由（1）可知，
则；所以，
两式相减得，
则，
所以．
25．（2021•五华区校级月考）已知数列中，，，当时，．
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）当时，，求正整数的最小值．
【解答】解：（1）当时，由已知，得，
所以是以为首项，1为公差的等差数列．
所以，所以，
所以．（6分）
（2）令，，
因为（3）（3），（4）（4），
由二次函数与指数函数的不同增长模型可得：时，，
所以正整数的最小值为4．（12分）
26．（2021•湖南月考）已知在数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
【解答】解：（1）由，得，
所以，
又满足上式，所以；
（2）由（1）可知，则，
所以．
27．（2021•青羊区校级开学）在①，，成等差数列，且；②，且；③为常数）从这三个条件中任选一个补充在横线处，并给出解答．
问题：已知数列的前项和为_____，其中．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【解答】（1）若选①，，成等差数列，且．
问题：已知数列的前项和为，，其中，，成等差数列，其中．
解：，，成等差数列，其中．
，化为：，
，，
数列是等比数列，首项为，公比为，
．
若选②，且．
问题：已知数列的前项和为，，，且，其中．
解：，化为：，
，
，即，
数列是等比数列，首项为，公比为，
．
若选③为常数）．
问题：已知数列的前项和为，，为常数），其中．
解：由，为常数），其中．
取，可得：，，化为：，解得．

时，，相减可得：，
即，
数列是等比数列，首项为，公比为，
．
（2）解：，
．
数列的前项和，
，
，
化为：．
28．（2021•明山区校级月考）在数列中，为其前项和，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解答】解：（1），，
当时，，
两式相减可得，
时，，，
又，满足上式，
当时，，
显然当时也满足，
，，
（2），
．
29．（2021•邯郸开学）在数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．
【解答】解：（1）由，，
可得，且，
所以数列是首项为0，公差为2的等差数列，
可得
（2），
所以．
30．（2021•全国Ⅰ卷月考）已知数列中，，且满足，．
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求满足的的最小值．
【解答】（1）证明：因为，
．
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以．
（2）因为，
所以，
解得，
所以满足的的最小值为10．
31．（2021•天河区月考）已知数列中，，其前项和为，且对任意，都有．
（1）求、、，并求数列的通项公式．
（2）求数列的前项和．
【解答】解：（1），对任意，都有．
时，，解得；
时，，解得；
时，，解得．
时，，化为：，
，
数列是等差数列，公差为2，
．
（2）时，数列的前项和；
时，数列的前项和．
．
32．（2021春•雅安期末）已知数列中，，．
（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）已知数列，满足．
（ⅰ）求数列的前项和；
（ⅱ）若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）证明：由，得，则，
又，得，所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
故，即；
（2）（ⅰ）由（1）可知；则，
所以；
，
两式相减得，所以；
（ⅱ）由（ⅰ）得，所以对一切恒成立，
令，则是递增数列，当为偶数时，，所以；
当为奇数时，恒成立，又，所以，
综上所述，的取值范围是．
33．（2021•遂宁模拟）已知数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求．
【解答】解：数列中，，，
当时，解得；
两边同除以，整理得（常数），
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列；
所以，
整理得．
（2）由（1）得：，
所以①，
②，
①②得：，
整理得．
34．（2021•北京月考）已知数列中，，且且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．
【解答】解：（1）因为且,
所以,
则

,
上式对也成立，
故；
（2）等价为,
数列的前项和为,
令,
其前项和为,
则有,,,
故,,,
当时，,
则有,
综上可得,不等式成立的或2．
35．（2021•溧阳市期中）已知数列的前项和为，点，在函数的图象上，数列满足，且
（1）求数列的通项公式；
（2）证明列数是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）设数列满足对任意的成立的值．
【解答】解：（1）点在函数的图象上，

当时，
当时，
也适合，
的通项公式为
（2）

其首项为3，公比为3的等比数列

（3）由（2）得
由题意得

36．（2021春•长阳县校级期中）已知数列中，，，，
（Ⅰ）证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列，求数列的前项和．
【解答】解：（Ⅰ），
，
又，
数列是以7为首项、3为公比的等比数列，
；
，
，
又，
数列是以为首项、为公比的等比数列，
；
．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得，
，
，
，
，

37．已知在数列中，，，．
（1）求数列的前项和；
（2）若且，，是否存在直线，使得当，，成等差数列时，点列，在上？若存在，求该直线的方程并证明；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）解：，
，
又，
数列是以2为首项、为公比的等比数列，
，
，
当为正偶数时，；
当为正奇数时，，
；
（2）结论：存在满足条件的直线．
理由如下：
假设成等差数列，则，
，
整理得：，
依题意，且，，下面对、进行讨论：
①若、均为偶数，则，
解得：，与且，矛盾，舍去；
②若为奇数、为偶数，则，
解得：；
③若为偶数、为奇数，则，
解得：，与且，矛盾，舍去；
④若、均为奇数，则，
解得：，与且，矛盾，舍去；
综上①②③④，只有当为奇数、为偶数时，，，成等差数列，
此时满足条件点列，落在直线在上．
38．（2021春•内江期末）已知数列的前项和为，且满足，当时，．
（1）计算：，；
（2）求的通项公式；
（3）设，求数列的前项和．
【解答】解：（1）令，得，又，所以；
令，得，所以．
（2）因为当时，，
所以，
所以数列为等差数列，
所以，
所以，
于是，当时，
，
当时，，满足上式，故．
（3）因为，则，
于是，
．
39．（2021春•新津县校级月考）已知数列中，，且．
（1）求，的值及数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求并比较与的大小．
【解答】解：（1）当时，，
当时，，
因为，所以，
当时，由累加法得，
因为，所以时，有，即，又时，，
故．
（2）时，，则．
记函数，所以，
则，
所以．
由于，此时，，此时，，此时，
由于，故时，（3），此时．
综上所述，当，2时，；当时，．
40．（2021春•广东期中）已知数列满足，且，．
（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求；
（3）是否存在实数，使得对任意都成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），，
数列是以首项为1，公差为2的等差数列，，
，，
故数列是等差数列，．
（2）．
（3），，
即，，，当且仅当时等号成立，
故．
41．（2008•深圳二模）已知数列满足，．
（Ⅰ）试判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项．
（Ⅱ）如果时，数列的前项和为．试求出，并证明．
【解答】解：（Ⅰ），
．
令，则．分
，
当时，，则．
数列不是等比数列．
当时，数列不是等比数列．分
当时，，则数列是等比数列，且公比为2．
，
即．
解得．分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，
．
令，①
则，②
由①②：

，
，分
则．分
，
当时，，则．分
，
则．分
因此，．分．
42．（2021•南城县校级月考）设各项为正数的数列的前项和为，且满足：．等比数列满足：．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项的和；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有．
【解答】解：当时，，而即
当时，，
，
当时，．
当时也成立，
．
．
．
解：．
，（1）
，（2），
（1）（2）得，
．
（Ⅲ）证明：当时，
，

43．（2021春•寿县校级月考）设数列满足：，．令．
（1）求证数列是等比数列并求数列的通项公式；
（2）已知，求证：．
【解答】证明：（1）由，得，代入得，，
，，
是首项为2，公比为的等比数列
，
（2）法一：由（2）得

法二：同理由

44．（2021•北仑区校级期中）已知数列满足，记为数列的前项和．
（1）证明：；
（2）证明：．
【解答】证明：（1）时，，此时成立；
假设时成立，即，
则时，，
即时命题成立．
综上可得：，．
（2）时，．
时，；
，
另一方面：，
，
，
即．
45．（2021•南通模拟）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的取值集合．
【解答】解：（1）依题意，由，
两边同时乘以，可得，
构造数列：令，则，
，，，，，
各项相加，可得

，
，．
（2）由（1）得，

，
令，
则，
两式相减，可得，

，
，
，
则，

，
，
，
，则，
，
当时，，
，
故数列是单调递增数列，
则当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
满足的所有正整数的取值集合为，2，．
46．（2014秋•利川市校级期末）对于数列，规定数列△为数列的一阶差分数列，其中△；一般地，规定△为的阶差分数列，其中△△△，且，．
（1）已知数列的通项公式．试证明△是等差数列；
（2）若数列的首项，且满足△△，，求数列及的通项公式；
（3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由．
【解答】（1）证明：依题意，△，
，
△△，
△，
△是首项为1，公差为5的等差数列．
（2）解：△△，，
△△△，
△，，
，，
当时，

，
，
当时，也满足上式，
．
（3）解：，，
令，则，
则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
而，
，即时，存在最小值，其最小值为．
47．（2021春•丹阳市校级期中）数列满足，．
（1）求，，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和．
【解答】解：（1）由，．可得，同理可得，．
（2）由，两边取倒数化简可得：，
数列是等比数列，首项为2，公比为2．
，
解得．
（3）．
数列的前项和．
，
．
．