20届高考数学一轮(江苏版)习题-第3讲等比数列.doc

第3讲　等比数列
一、填空题
1．已知{an}，{bn}都是等比数列，给出下列结论：
①{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列；
②{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列；
③{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列；
④{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列．
其中正确的是________(填序号)．
解析　两个等比数列的积仍是一个等比数列．
答案　③
2．(2017·苏北四市调研)在等比数列{an}中，已知a2·a5＝－32，a3＋a4＝4，且公比为整数，则a10＝________.
解析　设等比数列{an}的公比为q(q∈Z)，且a2·a5＝a3·a4＝－32，a3＋a4＝4，解得a3＝－4，a4＝8，q＝＝－2，则a10＝a4q6＝8×(－2)6＝512.
答案　512
3．(2015·全国Ⅱ卷改编)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝________.
解析　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
答案　42
4．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________.
解析　由解得或
∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
答案　－7
5．(2017·南京、盐城模拟)设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________.
解析　依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．
即(S20－10)2＝10(70－S20)，
故S20＝－20或S20＝30，
又S20＞0，
因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，
故S40－S30＝80.
S40＝150.
答案　150
6．(2017·扬州中学模拟)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________．
解析　两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3.即q＝3.
答案　3
7．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
解析　因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1舍去，a6＝a2q4＝1×22＝4.
答案　4
8．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________.
解析　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以＝，解得q2＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8.
答案　8
二、解答题
9．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.
(1)求an；
(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　(1)设{an}的公比为q，依题意得
解得
因此，an＝3n－1.
(2)因为bn＝log3an＝n－1，
所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.
10．(2017·合肥模拟)设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解　(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．
故数列{an＋1}不是等比数列．
11．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.
解析　设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.
答案　14
12．(2017·盐城中学模拟)数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝________.
解析　∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，
∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，
又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，
故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．
因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．
答案　(9n－1)
13．(2017·南京、盐城模拟)设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为________．
解析　设等比数列{an}的公比为q，则由an>0得q>0，Sn>0.又S6－2S3＝(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝S3q3－S3＝5，则S3＝，由S3>0，得q3>1，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝S3q6＝＝，令＝t，t∈(0,1)，则－＝t－t2＝－2＋∈，所以当t＝，即q3＝2时，－取得最大值，此时S9－S6取得最小值20.
答案　20
14．(2015·江苏卷节选)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．
(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；
(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由．
(1)证明　因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1,2,3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列，
(2)解　不存在，理由如下：
令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)．
假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列，
则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.
令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4，
化简得t3＋2t2－2＝0(*)，且t2＝t＋1.
将t2＝t＋1代入(*)式，
t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，
则t＝－.
显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．
因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列.