课时作业-第1节-直线与方程.docx

第1节　直线与方程

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
直线的倾斜角与斜率
1,2

直线方程
5,8,9

两条直线的位置关系
3,4,6
11
15
距离问题
7
10,12,14

对称问题

13

1.直线x+3y+1=0的倾斜角是(　D　)
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
解析:由直线的方程得直线的斜率为k=-33,
设倾斜角为α,则tan α=-33.
又α∈[0,π),
所以α=5π6.
故选D.
2.若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a等于(　A　)
A.1±2或0 B.2-52或0
C.2±52 D.2+52或0
解析:由题意知kAB=kAC,
即a2+a2-1=a3+a3-1,
即a(a2-2a-1)=0,
解得a=0或a=1±2.
故选A.
3.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是(　B　)

解析:由题意l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a,当a>0,b>0时,-a<0,-b<0.选项B符合.故选B.
4.(2021·福建漳州高三模拟)已知a2-3a+2=0,则直线l1: ax+(3-a)y-a=0和直线l2:(6-2a)x+(3a-5)y-4+a=0的位置关系为(　D　)
A.垂直或平行 B.垂直或相交
C.平行或相交 D.垂直或重合
解析:因为a2-3a+2=0,
所以a=1或a=2.
当a=1时,l1:x+2y-1=0,l2:4x-2y-3=0,
k1=-12,k2=2,
所以k1·k2=-1,则两直线垂直;
当a=2时,l1:2x+y-2=0,l2:2x+y-2=0,则两直线重合.故选D.
5.若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(　C　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:将(1,1)代入直线xa+yb=1,
得1a+1b=1,a>0,b>0,
故a+b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2=4,等号当且仅当a=b时取到.故选C.
6.(多选题)(2021·山东模拟)若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0, l3:x+y+a=0不能围成三角形,则(　ABC　)
A.a=1 B.a=-1
C.a=-2 D.a=2
解析:①当a=1时,直线l1,l2,l3重合,不能构成三角形,符合题意.
②当a≠1时,若三条直线交于一点,则也不能构成三角形.由x+ay+1=0,x+y+a=0,得直线l2,l3的交点坐标为(-a-1,1).代入直线l1的方程ax+y+1=0得a2+a-2=0,解得a=-2或a=1(舍去),符合题意.
③三条直线中有两条平行或重合,若l1和l3平行或重合,则a=1;若l2和l3平行或重合,则a=1;若l1和l2平行或重合,则-a=-1a,得a=±1,符合题意.综上,可得实数a所有可能的值为-1,1,-2.故选ABC.
7.已知坐标原点关于直线l1:x-y+1=0的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为(　B　)
A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0
C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=0
解析:设A(x0,y0),依题意可得x02-y02+1=0,y0x0=-1,
解得x0=-1,y0=1,即A(-1,1).
设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,
当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB.
又-1kAB=32,
所以直线l2的方程为y-1=32(x+1),
即3x-2y+5=0.
故选B.
8.已知直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点　　　　. 
解析:直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,
由x+y=0,-2x+y+6=0,
解得x=2,y=-2,
所以直线l恒过定点(2,-2).
答案:(2,-2)
9.菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),BC边所在直线过点P(8,-1).求:
(1)AD边所在直线的方程;
(2)对角线BD所在直线的方程.
解:(1)kBC=-5-(-1)6-8=2,
因为AD∥BC,
所以kAD=2.
所以AD边所在直线的方程为y-7=2(x+4),
即2x-y+15=0.
(2)kAC=-5-76-(-4)=-65,
因为菱形的对角线互相垂直,
所以BD⊥AC,
所以kBD=56.
因为AC的中点(1,1),也是BD的中点,
所以对角线BD所在直线的方程为
y-1=56(x-1),
即5x-6y+1=0.

10.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(mn)到原点的距离的最小值为(　A　)
A.5 B.6 C.23 D.25
解析:联立y=2x,x+y=3,解得x=1,y=2,
把(1,2)代入mx+ny+5=0得m+2n+5=0,
即m=-5-2n.
点(m,n)到原点距离d=m2+n2=(-5-2n)2+n2=5(n+2)2+5≥5.
当n=-2,m=-1时取“=”.故选A.
11.与直线x-2y+3=0平行,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是　　　　. 
解析:设所求直线方程为x-2y+λ=0,令x=0,得y=λ2;令y=0,得x=-λ,由题意得12×|λ2|·|-λ|=4,解得λ=±4.
答案:x-2y±4=0
12.两平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离的取值范围是　　　　. 
解析:因为l1∥l2,且P∈l1,Q∈l2,
所以l1,l2间的最大距离为
|PQ|=[2-(-1)]2+(-1-3)2=5.
又l1与l2不重合,
所以l1,l2之间距离的取值范围是(0,5].
答案:(0,5]
13.已知直线l:3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;
(3)直线l关于点(1,2)对称的直线方程.
解:(1)设P(xy)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′).
因为kPP′·kl=-1,即y'-yx'-x×3=-1.①
又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,
所以3×x'+x2-y'+y2+3=0.②
由①②得x'=-4x+3y-95,③y'=3x+4y+35.④
把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,
所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).
(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,
得关于l对称的直线方程为-4x+3y-95-3x+4y+35-2=0,
化简得7x+y+22=0.
(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),
关于(1,2)的对称点M′(x′,y′),
所以x'+02=1,x′=2,y'+32=2,y′=1,
所以M′(2,1).
直线l关于点(1,2)的对称直线平行于l,
所以k=3,
所以对称直线方程为y-1=3×(x-2),
即3x-y-5=0.
14.已知点P(2,-1).
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程;
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,并求出最大距离;
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过点P2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2.
若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0.
由已知得|-2k-1|k2+1=2,
解得k=34.
此时直线l的方程为3x-4y-10=0.
综上可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图.

由l⊥OP,得kl·kOP=-1,
因为kOP=-12,
所以kl=-1kOP=2.
由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),
即2x-y-5=0.
所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为|-5|5=5.
(3)由(2)可知,过点P不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.

15.如图,在平面直角坐标系中,分别在x轴与直线y=33(x+1)上从左向右依次取点Ak,Bk(k=1,2,…,其中A1是坐标原点),使△AkBkAk+1是等边三角形,则△A10B10A11的边长是　　　　. 

解析:直线y=33(x+1)的倾斜角为30°,与x轴的交点为P(-1,0).
又△A1B1A2是等边三角形,
所以∠PB1A2=90°,
所以等边△A1B1A2的边长为1,
且A2B1∥A3B2∥…∥A10B9,A2B1与直线y=33(x+1)垂直,故△A2B1B2, △A3B2B3,△A4B3B4,…,△A10B9B10均为直角三角形,且依次得到A2B2=2, A3B3=4,A4B4=8,A5B5=16,A6B6=32,A7B7=64,A8B8=128,A9B9=256,A10B10=512,
故△A10B10A11的边长是512.
答案:512