九年级下册数学苏科5-4-二次函数与一元二次方程.doc

5.4 二次函数与一元二次方程
教学目标
1、经历根据a、b、c及b2－4ac的符号画二次函数的示意图的过程，感受数形结合的思想；
2、根据二次函数的示意图确定a、b、c及b2－4ac的符号，培养识图能力．
教学过程
一、引入
我们知道二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）的图像是一条抛物线.
问题1：如何来画一个抛物线的草图？
生：应画出抛物线开口方向、开口大小、对称轴、最值等
问题2：以上都是抛物线的图像特征，观察以下几组抛物线，它们在图像特征上有什么差异，这些差异是由什么决定的，又如何决定的呢？

带着这样的疑问，我们进入本节课的学习，揭示课题《y=ax²+bx+c的系数a,b,c与图像的关系》.
[设计意图]
性质的研究依附于对图像特征的观察，通过对函数图像观察可以得出函数的一系列性质，正因如此，对函数图像关键特征的把握就应该是处理好本课教学任务的关键，故在设计本课时教学设计时，从如何画图、观察几组差异图形入手，引导学生去关注图像的几个关键特征：开方方向，开口大小、对称轴位置、与y轴交点位置、与x轴交点个数等.给出的四组图形，第一组是开口方向的差异，第二组是对称轴位置的差异、第三组是与y轴交点位置的差异、第四组是与x轴交点个数的差异. 这样引入设计也是从学生已有知识基础、 生活经验、认知规律和心理特征出发，找准教学的起点，突破教学的难点捕捉教学的生长点，使教学切合实际.
二、探索活动
1、探究a对抛物线开口方向的影响.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由 a 决定的：
（1） a＞0抛物线开口向上，
（2） a＜0抛物线开口向下；
（3）｜a｜相同抛物线形状相同．
2、探究a、b对抛物线对称轴的影响.
抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴的位置是由a与b 符号决定的：
a与b同号对称轴在y轴左侧；
a与b异号对称轴在y轴右侧；
b＝0对称轴就是y轴．
3、探究c对抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点位置的影响.
抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点位置是由C决定的：
c＞0抛物线与y轴交于y轴的正半轴；
c＝0抛物线与y轴交于坐标原点；
c＜0抛物线与y轴交于y轴的负半轴．
4、探究b2－4ac的符号对抛物线与x轴交点个数的影响.
抛物线与x轴有两个交点b2－4ac＞0
抛物线与x轴有一个交点b2－4ac=0
抛物线与x轴有没有交点b2－4ac小于0
课件设计：

[设计意图]
活动是课堂教学的一种组织形式，学生学习应当是一个主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考等，都是学习数学的重要方式。学生也应当有足够的时间和空间经历观察、计算、推理、验证等活动过程。本探索活动通过四个活动，让学生通过观察，思考得出这几个字母和二次函数图像的关系.我的“引导”作用主要体现在：通过恰当的问题，引导学生积极思考、求知求真.
活动1探究a对抛物线开口方向的影响、活动2探究a、b对抛物线对称轴的影响、活动3探究c对抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点位置的影响、活动4探究b2－4ac的符号对抛物线与x轴交点个数的影响.
练习：由所给y＝ax2＋bx＋c的图像确定a、b、c及b2－4ac的符号．
y
x
O
y
x
O
a　　0
b　　0
c　　0
b2－4ac　0
y
x
O
a　　0
b　　0
c　　0
b2－4ac　0
a　　0
b　　0
c　　0
b2－4ac　0

y
x
O
y
x
O
a　　0
b　　0
c　　0
b2－4ac　0
y
x
O
a　　0
b　　0
c　　0
b2－4ac　0
a　　0
b　　0
c　　0
b2－4ac　0

[设计意图]
学生获取新知后，需要通过进一步的解题活动巩固所学知识。因此，练习题的设计和安排就显得十分重要和必要。帮助学生及时巩固所学的知识，进一步加深对所学知识的理解。我安排了以上基础练习，并做了精细讲解，以便取得更好的巩固新知的效果。
思考：
已知某二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，如何根据图像确定代数式a+b+c、a-b+c、 4a+2b+c、4a-2b+c的符号？
分别是当x=1,x=－1，x=2，x=－2时函数y＝ax2＋bx＋c的值.
课件设计：

[设计意图]
代数式a+b+c、a-b+c、 4a+2b+c、4a-2b+c的值是当自变量是x=1,x=－1，x=2，x=－2时的函数值，是函数图像在关键点的函数值.本内容属于较高认知层次，是学生需要“够一够”才能够到的，但是能训练学生的思维能力，也能锻炼学生克服困难的意志.
三、典型例题
例1、二次函数的图像如图所示，根据图像填空：
2
1
-
y
x
-
1

O
1

2
（用“＞”、“＝”、“＜”填空）
① 0， 0， 0， 0， 0；
② 0， 0， 0；
③
④ 0， ．
[设计意图]
本习题与之前习题属于不同层次，由易到难，由浅入深，紧紧扣准了学生的认知特点，
这样的梯度习题使学生的思维能变得更加有序，前一种的习题则是为学生完成下个习题打下了基础，减轻了学生的思维负担。
回顾之前学习过的k对反比例函数 图像分布的影响，k、b对一次函数y=kx+b（k≠0）图像的影响
例2、（1）已知反比例函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致为 ( )
分析：根据反比例函数图像分布在第二、四象限，知k＜0,中二次项系数是2k,是一负数，故开口向下，b前面系数也是一负数，根据”左同右异”，对称轴在y轴左侧，答案选D.
O

x

y
A
O
x
y
B
O

x

y

C

O
x

y

D

题（2）
(2)二次函数的图象如图所示，则一次函数的
图像不经过 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
分析：根据抛物线的开口方向向上知a＞0，根据对称轴在y轴左侧，“左同右异”,b＞0,一次函数中b＞0，a＞0，图像分布在第一、二、三象限，图像不经过第四象限，故答案选D.
（3)在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是( )

A B C D
分析：答案选B.题型是一次函数与二次函数能否同时出现在平面直角坐标系中的问题.
例3、如图，抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（－1,0），其部分图象如图所示.下列结论：①4ac＜；②方程＝0的两个根是，；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大.其中结论正确的个数是
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

分析：根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），抛物线（a≠0）与x轴有两个公共点（－1,0）、（3,0），∴方程＝0的两个根是，，∴结论②正确. ∵－4ac＞0，∴4ac＜结论①正确.∵，∴b＝－2a，∵a－b＋c＝0，∴a－（－2a）＋c＝0，∴3a＋c＝0，∴结论③错误.由图象可知，只有当－1＜x＜3时，抛物线上的点才在x轴上方，∴结论④正确.由图象可知，在x≤1的范围之内，y都随x的增大而增大，∴结论⑤正确.∴正确结论有①、②、⑤，故选择B.

例4、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：
（1）b2﹣4ac＞0； （2）2a=b；
（3）点（﹣，y1）、（﹣，y2）、（，y3）是该抛物线上的点，
则y1＜y2＜y3；
（4）3b+2c＜0；（5）t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）．其中正确结论的
个数是 （　　）
A.2 B.3 C.4 D.5

分析：答案选C.其中涉及抛物线与x轴交点个数问题，对称轴、已知自变量的取值来确定函数值的大小问题等
[设计意图]
问题是数学的心脏，通过把握一道题的条件实质，发现题中的隐含条件，可以培养学生思维的深刻性；通过引导学生反思自己的解题思路和解题过程，对解题中出现的错误进行辨析，可以培养学生思维的辨析性；通过鼓励学生不断探索解决问题的新方法、新思路，可以培养学生思维的创造性等等。例4的设置就注重了对学生能力的培养，问题的层次、梯度有利于培养学生的数学思维能力。