2022北京西城初三(上)期末数学(教师版).docx

2022 北京西城初三(上)期末
数 学
一、选择题(共 16 分，每题 2 分) 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．(2 分) 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中， 是中心对称图形的是( )
A ． B ．
C ． D ．
2．(2 分)二次函数y = 2(x 一 3)2 + 1 的图象的顶点坐标是( )
A ． (一2, 1) B ． (2, 1) C ． (一3, 1) D ． (3, 1)
3．(2 分)如图，点 A 、B 、 C 在 O 上， OAB 为等边三角形，则 三ACB 的度数是( )

A ． 60。 B ．50。 C ．40。 D ．30。
4．(2 分)将一元二次方程x2 一 8x + 10 = 0 通过配方转化为 (x + a)2 = b 的形式，下列结果中正确的是( )
A ．(x 一 4)2 = 6 B ． (x 一 8)2 = 6 C ．(x 一 4)2 = 一6 D ． (x 一 8)2 = 54
5．(2 分)如图， O 是正方形 ABCD 的外接圆，若 O 的半径为 4，则正方形 ABCD 的边长为( )

A ．4 B ．8 C ．2 D ．4
6．(2 分) 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017 年全国生活垃圾无害化处理
能力约为 2.5 亿吨，随着设施的增加和技术的发展， 2019 年提升到约 3.2 亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处
理能力的年平均增长率为x ，那么根据题意可以列方程为 ( )

A ．2.5(1 + x) = 3.2
C ．2.5(1 + x)2 = 3.2

B ．2.5(1 + 2x) = 3.2
D ．2.5(1 一 x)2 = 3.2



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7．(2 分)下列说法中，正确的是( )
A ．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1
C．某种彩票中奖的概率是1% ，因此买 100 张该种彩票就一定会中奖
D ．抛掷一枚图钉， “针尖朝上”的概率可以用列举法求得
8．(2 分) 抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点为 A(2, m) ，且经过点B(5, 0) ，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下 四 个 结 论 ： ① ac 0 ； ② a 一 b + c 0 ； ③ m + 9a = 0 ； ④ 若 此 抛 物 线 经 过 点 C(t, n) ， 则 t +4 一 定 是 方 程 ax2 + bx + c = n 的一个根．其中所有正确结论的序号是( )

A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④
二、填空题(共 16 分，每题 2 分)
9．(2 分)在平面直角坐标系xOy 中，点(4, 一7) 关于原点的对称点坐标为 ．
10．(2 分)关于x 的一元二次方程x2 + mx + 4 = 0 有一个根为 1，则 m 的值为 ．
11．(2 分) 如图 1 所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为 160o 的圆弧形窗帘轨道 (如图 2) 需用此材料800冗mm ，则此圆弧所在圆的半径为 mm ．

12．(2 分)写出一个开口向下，且对称轴在y 轴左侧的抛物线的表达式： ．
13．(2 分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A ， B ， C 的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则 此圆弧的圆心坐标为 ．


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14．(2 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y = 一 1 (x 一 4)2 + 2 可以看作是抛物线 y = 1 x2 + 2 经过若干次图

2 2
形 的变化 (平移 、 轴对称 、 旋转 ) 得到 的 ， 写 出一种 由抛物线 y = 1 x2 + 2 得到抛物线 y = 一 1 (x 一 4)2 + 2 的过
2 2
程： ．

15．(2 分) 如图，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 (0o 90o) 得到 ADE ，点 B 的对应点D 恰好落在边 BC 上，则 三ADE = . (用含 的式子表示)

AB = 2 13 ，
BC = 4 ，则 BD 长的最小值为
16．(2 分) 如图，在 RtABC 中， 三ACB = 90o ， D 是ABC 内的一个动点，满足 AC2 一 AD2 = CD2 . 若 ．

三、解答题(共 68 分，第 17-18 题，每题 5 分，第 19 题 6 分，第 20 题 5 分，第 21 题 6 分，第 22-24 题，每题 5 分，第 25-26 题，每题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．(5 分)解方程 x2 一 2x 一 2 = 0 ．
18．(5 分)问题：如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 O 内，请仅用无刻度的直尺，作出 ABC 中 AB 边上的高． 小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
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作法：如图，
①延长 AC 交 O 于点D ，延长 BC 交 O 于点E ；
②分别连接 AE ，BD 并延长相交于点F ；
③连接FC 并延长交 AB 于点H ．
所以线段 CH 即为 ABC 中 AB 边上的高．
(1)根据小芸的作法，补全图形；
(2)完成下面的证明．
证明： AB 是 O 的直径，点D ，E 在 O 上，
：三ADB = 三AEB = 。．( ) (填推理的依据)
：AE 」BE ，BD 」AD ．
：AE ， 是 ABC 的两条高线．
AE ，BD 所在直线交于点F ，
：直线FC 也是 ABC 的高所在直线．
：CH 是 ABC 中 AB 边上的高．

19．(6 分)已知二次函数y = x2 + 4x + 3 ．
(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)画出此函数的图象；
(3)若点 A(0, y1 ) 和B(m, y2 ) 都在此函数的图象上，且y1 y2 ，结合函数图象，直接写出 m 的取值范围．
20．(5 分)如图，在正方形 ABCD 中，射线 AE 与边 CD 交于点E ，将射线 AE 绕点 A 顺时针旋转， 与 CB 的延长线 交于点F ，BF = DE ，连接 FE ．
(1)求证： AF = AE ；
(2)若 三DAE = 30。，DE = 2 ，直接写出 AEF 的面积．

21．(6 分)已知关于x 的一元二次方程x2 (k + 5)x + 6 + 2k = 0 ．


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(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于 一 1 ，求 k 的取值范围．
22．(5 分) 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数一2 ，2；乙口袋中装有三个 相同的球，它们分别写有数一5 ，m ，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其 上的数记为 a ；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b ．若 a b ，小明胜；若 a = b ，为平局；若 a > b ， 小刚胜．
(1)若 m = 一2 ，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；
(2)当 m 为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m 的值．
23．(5分) 如图， AB ， AC 是 O 的两条切线，切点分别为 B ， C ，连接 CO 并延长交 O 于点 D ，过点 D 作 O 的切线交 AB 的延长线于点E ，EF 」AC 于点F ．
(1)求证：四边形 CDEF 是矩形；
(2)若 CD = 2 ，DE = 2 ，求 AC 的长．

24．(5 分) 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距 地面的高度y (单位： m) 与行进的水平距离x (单位： m) 之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置 A 与篮筐 的水平距离为 4.5m ，篮筐距地面的高度为 3.05m ；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为 3.3m ．
(1)图中点 B 表示篮筐，其坐标为 ，篮球行进的最高点 C 的坐标为 ；
(2)求篮球出手时距地面的高度．

25．(6 分) 如图， AB 是 O 的直径，四边形 ABCD 内接于 O ，D 是 的中点， DE 」BC 交BC 的延长线于点 E ．
(1)求证： DE 是 O 的切线；
(2)若 AB = 10 ，BC = 8 ，求 BD 的长．


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26．(6 分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = a(x 一 h)2 一 8a 的顶点为 A ，0 h ．
(1)若 a = 1，
①点 A 到x 轴的距离为 ；
②求此抛物线与x 轴的两个交点之间的距离；
(2) 已知点 A 到 x 轴的距离为 4，此抛物线与直线 y = 一2x + 1的两个交点分别为 B(x1 ， y1 ) ， C(x2 ， y2 ) ，其中 x1 x2 ，若点 D(xD ，yD ) 在此抛物线上，当x1 xD x2 时， yD 总满足y2 yD y1 ，求 a 的值和h 的取值范围．
27．(7 分) 如图 1，在ABC 中， 三ACB = 90。， CA = CB ，点 D ， E 分别在边 CA ， CB 上， CD = CE ，连接DE ， AE ，BD ．点 F 在线段BD 上，连接 CF 交 AE 于点H ．
(1) ①比较 三CAE 与 三CBD 的大小，并证明；
②若 CF 」AE ，求证： AE = 2CF ；
(2)将图 1 中的 CDE 绕点 C 逆时针旋转(0。 90。) ，如图 2．若 F 是BD 的中点，判断 AE = 2CF 是否仍然成 立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

28．(7 分) 在平面直角坐标系xOy 中， O 的半径为 1，点 A 在 O 上，点 P 在 O 内，给出如下定义：连接 AP 并延长交 O 于点B ，若 AP = kAB ，则称点 P 是点 A 关于 O 的k 倍特征点．
(1)如图，点 A 的坐标为 (1, 0) ．
①若点P 的坐标为 (一 ，0) ，则点 P 是点 A 关于 O 的 倍特征点；
②在 C1 (0, ) ， C2 ( ，0) ， C3 ( ，一 ) 这三个点中，点 是点 A 关于 O 的 倍特征点；
③直线l 经过点 A ，与 y 轴交于点D ， 三DAO = 60。．点 E 在直线l 上，且点 E 是点 A 关于 O 的 倍特征点，求 点E 的坐标；
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(2) 若当 k 取某个值时，对于函数 y = 一x + 1(0 x 1) 的图象上任意一点M ，在 O 上都存在点 N ，使得点M 是
点N 关于 O 的k 倍特征点，直接写出k 的最大值和最小值．


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参考答案
一、选择题(共 16 分，每题 2 分) 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．【分析】把一个图形绕某一点旋转180o ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对 称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：选项 C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180o 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 选项 A 、 B 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180o 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图 形，
故选： C ．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合． 2．【分析】二次函数 y = a(x 一 h)2 + k(a 0) 的顶点坐标是 (h, k) ．
【解答】解：根据二次函数的顶点式方程 y = 2(x 一 3)2 1 知，该函数的顶点坐标是： (3, 1) ．
故选： D ．
【 点评 】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式 ．解答该题时 ，需熟悉二次函数的顶点式方程 y = a(x 一 h)2 + k 中的h 、k 所表示的意义．
3．【分析】先根据等边三角形的性质得到 三AOB = 60o ，然后根据圆周角定理求 三ACB 的度数． 【解答】解： OAB 为等边三角形，
三AOB = 60o ，
三ACB = 三AOB = 30o ．
故选： D ．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的 一半．也考查了等边三角形的性质．
4．【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上 16 ，然后把方程作边写成完全平方形式即可． 【解答】解： x2 一 8x = 一10 ，
x2 一 8x + 16 = 6 ，
(x 一 4)2 = 6 ．
故选： A ．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为 1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．
5．【分析】连接 BD ．由题意， BCD 是等腰直角三角形，故可得出结论． 【解答】解：如图，连接 BD ．


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由题意， 编BCD 是等腰直角三角形，
BD = 8 ， 三CBD = 45。， 三BCD = 90。，
：BC = BD = 4 ． 故选： D ．
【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此
题的关键．
6．【分析】利用 2019 年全国生活垃圾无害化处理能力 = 2017 年全国生活垃圾无害化处理能力人(1 + 年平均增长率)
2 ，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得： 2.5(1 + x)2 = 3.2 ．
故选： C ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7 ．【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．
【解答】解： A ．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故 A 不符合题意；
B ．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1，故 B 符合题意；
C ．某种彩票中奖的概率是1% ，因此买 100 张该种彩票就可能会中奖，故 C 不符合题意；
D ．抛掷一枚图钉， “针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D 不符合题意；
故选： B ．

【点评】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，列表法与树状图法，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 8．【分析】由抛物线开口和抛物线与y 轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点 (5, 0) 可判断②，由抛物线对称
轴为直线x = 2 可得b = 一4a ，由 a 一 b + c = 0 可得c = 一5a ，从而判断③，
点 C 对称点横坐标为4 一 t 可判断④．
【解答】解： 抛物线开口向下，
：a < 0 ，
抛物线与y 轴交点在x 轴上方，
：c > 0 ，
：ac < 0 ，①正确．
抛物线顶点为 A(2, m) ，
：抛物线对称轴为直线x = 2 ， 抛物线过点(5, 0) ，
：由对称性可得抛物线经过点 (一1, 0) ，
：a 一 b + c = 0 ，②错误，
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一 = 2 ， ：b = 一4a ， ：5a + c = 0 ， ：c = 一5a
(2, m) 为抛物线顶点，
：4a + 2b + c = m ，
：4a 一 8a 一 5a = m ，即 9a + m = 0 ，③正确， 点 C(t, n) 在抛物线上，
：点 C 关于对称轴对称点 (4 一 t, n) 在抛物线上，
：4 一 t 为ax2 + bx + c = n 的一个根， ④错误． 故选： B ．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题(共 16 分，每题 2 分)
9 ．【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，点(4, 一7) 关于原点的对称点坐标为(一4, 7) ，
故答案为： (一4, 7) ．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、 纵坐标互为相反数
10．【分析】把 x = 1 代入方程x2 + mx + 4 = 0 得1+ m + 4 = 0 ，然后解关于 m 的方程． 【解答】解：把 x = 1 代入方程x2 + mx + 4 = 0 得1+ m + 4 = 0 ，
解得m = 一5 ．
故答案为： 一5 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11 ．【分析】利用弧长的计算公式即可求解． 【解答】解：设此圆弧所在圆的半径为 R mm ， 由弧长公式得： R = 800冗 ，
解得： R = 900 ，
即此圆弧所在圆的半径为900mm ，
故答案为： 900．
【点评】本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长公式是解题的关键．
12．【分析】满足开口向下且对称轴在 y 轴左侧可以判断a 、b 的正负，从而可以得到所求得抛物线的表达式． 【解答】解： 开口向下，
：a 0 ，
对称轴在y 轴左侧，


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： 0 ， ：b 0 ，
故抛物线的解析式可以为y = x2 x ，(答案不唯一)，
故答案为： y = x2 x ，(答案不唯一)．
【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不 唯一．
13．【分析】根据图形得出 A 、 B 、 C 的坐标，再连接 AB ，作线段 AB 和线段 BC 的垂直平分线MN 、 EF ，两线 交于Q ，则 Q 是圆弧的圆心，最后求出点Q 的坐标即可．
【解答】解：从图形可知： A 点的坐标是(0, 2) ，B 点的坐标是 (1, 3) ， C 点的坐标是 (3, 3) ，
连接 AB ，作线段 AB 和线段BC 的垂直平分线MN 、EF ，两线交于 Q ，则 Q 是圆弧的圆心，如图，

：Q 点的坐标是 (2, 1) ，
故答案为： (2, 1) ．
【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心 Q 的位置是解此题的
关键．
14 ．【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答．
【解答】解：抛物线 y = x2 2 的顶点为(0, 2) ，抛物线 y = (x 4)2 + 2 的顶点为(4, 2) ，
：将抛物线y = x2 + 2 绕顶点 (0, 2) 顺时针方向旋转 180 度，再向右平移 4 个单位长度得到抛物线y = (x 4)2 + 2 ． 故答案为 ：将抛物线 y = x2 + 2 绕顶点 (0, 2) 顺时针方 向旋转 180 度 ，再 向右平移 4 个单位长度得到抛物线
y = (x 4)2 + 2 ．(答案不唯一)．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题是关键．
15 ．【分析 】根据旋转 的性质得到 AD = AB ， 三ADE = 三B ，根据等腰三角形 的性质得到 三ADB = 三B ，求得
三ADE = 三ADB = 90。 ．
【解答】解：由旋转的性质可知， AD = AB ， 三ADE = 三B ，
：三ADB = 三B ，
三BAD = ，


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：三ADE = 三ADB = (180。 ) = 90。 ，
故答案为： 90。 ．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
16．【分析】由 AC2 AD2 = CD2 . 得 三ADC = 90。，取点H 为 AC 的中点，可知DH 和BH 都是定值，从而解决问题． 【解答】解：取 AC 的中点H ，连接 HD ，HB ，

在RtABC 中，由勾股定理得 AC = AB2 BC2 = 52 16 = 6 ，
AC2 AD2 = CD2 ．
：三ADC = 90。，
点H 为 AC 的中点，
：DH = CH = 3 ，
：BH = CH2 + BC2 = 32 + 42 = 5 ， BD… BH DH ，
：BD 的最小值为5 3 = 2 ， 故答案为： 2．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，三角形三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，做辅助线构 造三角形是解题的关键．
三、解答题(共 68 分，第 17-18 题，每题 5 分，第 19 题 6 分，第 20 题 5 分，第 21 题 6 分，第 22-24 题，每题 5 分，第 25-26 题，每题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．【分析】在本题中，把常数项 2 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 2 的一半的平方． 【解答】解：移项，得
x2 2x = 2 ，
配方，得
x2 2x + 1 = 2 + 1 ，即 (x 1)2 = 3 ，
开方，得
x 1 = ．
解得x1 = 1 + ，x2 = 1 ．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：
(1) 形如x2 + px + q = 0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方； 12 / 25

第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
(2)形如 ax2 + bx + c = 0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2 + px + q = 0 ，然后配方．
18．【分析】(1)根据要求作出图形即可．
(2)利用三角形的三条高交于一点解决问题即可． 【解答】解： (1)如图，线段 CH 即为所求．

(2) AB 是 O 的直径，点D ，E 在 O 上，
：三ADB = 三AEB = 90o ．(直径所对的圆周角是直角)，
：AE 」BE ，BD 」AD ．
：AE ，BD 是编ABC 的两条高线． AE ，BD 所在直线交于点F ，
：直线FC 也是编ABC 的高所在直线． ：CH 是编ABC 中 AB 边上的高．
故答案为： 90 ，直径所对的圆周角是直角， BD ．
【点评】本题考查作图一 复杂作图，圆周角定理，三角形的高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识 解决问题．
19．【分析】(1)将解析式化为顶点式即可；
(2)画出函数图象；
(3)由题意可得 2<| m + 2 | ，求出 m 的取值范围即可． 【解答】解： (1) y = x2 + 4x + 3 = (x + 2)2 一 1 ，
：对称轴为直线x = 一2 ，顶点 (一2, 一1) ；
(2)如图：
(3) 点 A(0, y1 ) 和B(m, y2 ) 都在此函数的图象上，且y1 < y2 ，
：2 <| m + 2 | ，
：m > 0 或m < 一4 ．


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【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
20．【分析】(1) 根据正方形的性质得到 AB = AD ， 三ABC = 三D = 三BAD = 90。，求得 三ABF = 90。，根据全等三角 形的性质即可得到结论；
(2) 根据全等三角形的性质得到 三BAF = 三DAE ，得到 编AEF 是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到 AE = 2DE = 4 ，于是得到结论．
【解答】(1)证明： 四边形 ABCD 是正方形，
：AB = AD ， 三ABC = 三D = 三BAD = 90。，
：三ABF = 90。，
在编ABF 与编ADE 中，
(|AB = AD
〈|l三D = 90。，
：编ABF 二 编ADE(SAS) ，
：AF = AE ；
(2)解：由(1)知， 编ABF 二 编ADE ，
：三BAF = 三DAE ，
：三BAF + 三BAE = 三DAE + 三BAE = 90。，
：三FAE = 90。，
：编AEF 是等腰直角三角形，
在Rt编ADE 中， 三D = 90。， 三DAE = 30。，DE = 2 ，
：AE = 2DE = 4 ，
：编AEF 的面积= 〉4〉4 = 8 ．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得 编ABF 二 编ADE 是解题的关键．
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21．【分析】(1)计算根的判别式得到△ = (k + 1)2 … 0 ，然后根据根的判别式的意义得到结论；
(2)解方程得到 x1 = 2 ，x2 = k +3 ，则 k + 3 一1 ，然后解不等式即可． 【解答】(1)证明： △ = (k + 5)2 一 4(6 + 2k)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2 … 0 ，
：此方程总有两个实数根；
2
(2) x = k + 5 (k + 1) ，
：x1 = 2 ，x2 = k + 3 ，
此方程恰有一个根小于一 1 ，
：k + 3 一 1 ，
解得k 一4 ，
即k 的取值范围为k 一4 ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的根与△ = b2 一 4ac 有如下关系：当△ >0 时，
方程有两个不相等的实数根；当△ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当△ 0 时，方程无实数根．
22．【分析】(1) 画树状图，共有 6 种等可能的结果，其中 a b 的结果有 2 种， a > b 的结果有 3 种，再由概率公式 分别求解即可；
(2) 画树状图，共有 6 种等可能的结果，其中 a b 的结果有 3 种， a > b 的结果有 3 种，再由概率公式得小明获胜 的概率= 小刚获胜的概率即可．
【解答】解： (1)画树状图如下：

共有 6 种等可能的结果，其中a b 的结果有 2 种， a > b 的结果有 3 种，
：小明获胜的概率为 = ，小刚获胜的概率为 = ；
(2) m 为 0 时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下： 画树状图如下：

共有 6 种等可能的结果，其中a b 的结果有 3 种， a > b 的结果有 3 种，
：小明获胜的概率= 小刚获胜的概率= = ．
【点评】此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率= 所求情况数与总情 况数之比．
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23．【分析】(1) 根据切线的性质得到 AC 」CD ，DE 」CD ，得到 AC / /DE ， 三ACD = 90o ，根据平行线的判定定 理得到EF / /CD ，根据矩形的判定定理即可得到结论；
(2) 根据切线的性质得到 AB = AC ，BE = DE = 2 ，根据矩形的性质得到 CF = DE = 2 ，EF = CD = 2 ，根据勾 股定理即可得到结论．
【解答】(1)证明： AC 、DE 是 O 的切线 CD 是 的直径，
AC 」CD ，DE 」CD ，
AC / /DE ， 三ACD = 90o ，
EF 」AC ，
EF / /CD ，
四边形 CDEF 是矩形；
(2)解： AB ， AC ，DE 是 O 的切线，
AB = AC ，BE = DE = 2 ，
由(1)知，四边形 CDEF 是矩形，
CF = DE = 2 ，EF = CD = 2 ，
EF 」AC ，
三AFE = 90o ，
AE2 = AF2 + EF2 ，
(AC + 2)2 = (AC 一 2)2 + (2 )2 ，
解得 AC = 5 ，
故 AC 的长为 5．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
24．【分析】(1) 根据已知篮球出手位置 A 与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为3.05m ；当篮球行进的 水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ．即可得到答案；
(2) 设抛物线的解析式为 y = a(x 一 3)2 + 3.3 ，把 B(4.5, 3.05) 代入求得抛物线的解析式为 y = 一 (x 一 3)2 + 3.3 ，当 x = 0 时，解方程即可得到结论．
【解答】解：(1) 篮球出手位置 A 与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为3.05m ；当篮球行进的水平距 离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ，
点B 表示篮筐，其坐标为(4.5, 3.05) ，篮球行进的最高点 C 的坐标为 (3, 3.3) ；
故答案为： (4.5, 3.05) ， (3, 3.3) ；
(2)设抛物线的解析式为 y = a(x 一 3)2 + 3.3 ，
把B(4.5, 3.05) 代入得， 3.05 = a(4.5 一 3)2 + 3.3 ，
解得a = 一 ，
抛物线的解析式为y = 一 (x 一 3)2 + 3.3 ，
当x = 0 时， y = 2.3 ，
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答：篮球出手时距地面的高度为 2.3 米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，准确理解铅球出手时离地面的高度是解题的关键．
25．【分析】(1) 要证明 DE 是 O 的切线，所以连接 OD ，求出 三ODE = 90。即可，根据已知 DE 」BC ，可得 三DEC = 90。，所以只要证明 OD / /BE 即可解答；
(2) 由(1) 可得 BD 平分 三ABC ，所以想到过点 D 作 DF 」AB ，垂足为 F ，进而证明 ADF CDE ，可得 AF = CE ，易证 BDF BDE ，可得 BF BE ，然后进行计算即可解答．
【解答】(1)证明：连接 OD ，

DE 」BC ，
：三DEC = 90。， D 是 的中点，
： = ，
：三ABD = 三CBD ， OD = OB ，
：三ODB = 三OBD ，
：三ODB = 三CBD ， ：OD / /BC ，
：三ODE = 180。一 三DEC = 90。， ：OD 」DE ，
OD 是 O 的半径，
：DE 是 O 的切线；
(2)解：过点 D 作DF」 AB ，垂足为 F ，


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由(1)得： 三ABD = 三CBD ，
：BD 平分 三ABC ，
DF 」AB ，DE 」BC ，
：DF = DE ，
四边形 ABCD 内接于 O ，
：三A+ 三DCB = 180o ，
三DCB + 三DCE = 180o ，
：三A = 三DCE ，
三DFA = 三DEC = 90o ，
：编ADF 二 编CDE(AAS) ，
：AF = EC ，
三DFB = 三DEC = 90o ，BD = BD ，
：编BDF 二 编BDE(AAS) ，
：BF = BE ，
设 AF = EC = x ，则 BE = BF = 8 + x ，
AB = 10 ，
：AF + BF = 10 ，
：x + 8 + x = 10 ，
：x = 1 ，
：BF = 9 ，
AB 是 O 的直径，
：三ADB = 90o ， 三ABD = 三DBF ，
：编BFD∽编BDA ，
：BD2 = BF . BA ，
：BD2 = 90 ，
：BD = 3 ．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，添加辅助线是解题的关键．
26．【分析】(1) ①把 a = 1代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解． ②令y = 0 ，求出 x1 与x2 ，进而求解．
(2) 由当 x1 想 xD 想 x2 时， yD 总满足 y2 想 yD