2023届高考数学一轮复习-第7讲-抛物线.doc

第7讲　抛物线
考向预测
核心素养
抛物线的方程、几何性质及抛物线的综合问题是高考热点，综合问题难度较大.
直观想象、数学抽象、数学运算

[学生用书P236])

一、知识梳理
1．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．
(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图形

范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点

准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0，0)
离心率
e＝1
常用结论
1．与焦点弦有关的常用结论

如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)．
通径(过焦点垂直于对称轴的弦)长：2p.
(3)焦半径：|AF|＝，|BF|＝，＋＝.
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)．
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第一册P133练习T3(2)改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________．
答案：(3，±6)
2．(人A选择性必修第一册P136练习T4改编)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．
解析：设点A的横坐标是x1，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|＝x1＋1＝2，则x1＝1.因为AF所在直线过点F所以直线AF的方程是x＝1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.
答案：2

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)
(3)若一抛物线过点P(－4，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(　　)
(4)抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
1．(多选)(忽视焦点的位置致误) 顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x　　　 B.y2＝x
C．x2＝y D.x2＝－y
解析：选AC.设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
2．(忽视抛物线的开口方向致误)若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________．　
解析：把抛物线方程y＝ax2化为标准形式得x2＝y，所以－＝2，解得a＝－.
答案：－
3．(忽视方程多解致误)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________．
解析：设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2故满足条件的点的个数为2.
答案：2
[学生用书P237])
考点一　抛物线的定义和标准方程(自主练透)
复习指导：1.了解抛物线的定义、标准方程、掌握各种形式下抛物线的图形．
2．理解参数p的几何意义．
1．(2021·新高考卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　)
A．1　　 　 B.2　　 　
C.2　　 　 D.4
解析：选B.抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，解得p＝2(p＝－6舍去)．故选B.
2．动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．
解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
3．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)．若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
解析：线段OA的垂直平分线方程是y＝－2x＋，且交x轴于点，该点为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，故该抛物线的准线方程为x＝－.
答案：x＝－

抛物线的定义及标准方程应用关键点
(1)由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化．
(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
考点二　抛物线的几何性质(多维探究)
复习指导：理解应用抛物线的简单几何性质．
角度1　焦半径和焦点弦
(1)(2022·河北衡水三模)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且||＋||＋||＝10，则x1＋x2＝(　　)
A．6　　 　 B.5　　 　
C.4　　 　 D.3
(2)(链接常用结论1(2))设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　(1)根据抛物线的定义，知||，||，||分别等于点A，B，C到准线x＝－1的距离，所以由||＋||＋||＝10，可得2＋x1＋1＋x2＋1＝10，即x1＋x2＝6.故选A.
(2)由已知得焦点坐标为F，
因此直线AB的方程为y＝，
即4x－4y－3＝0.
方法一：联立直线方程与抛物线方程化简得
4y2－12y－9＝0，
则yA＋yB＝3，yAyB＝－，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
方法二：联立直线方程与抛物线方程得x2－x＋＝0，
故xA＋xB＝.
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，
同时原点到直线AB的距离为d＝＝，
因此S△OAB＝|AB|·d＝.
【答案】　(1)A　(2)D
角度2　与抛物线有关的最值
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
【解析】　

如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
【答案】　4

1．若本例条件不变，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是________．
解析：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为焦点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
答案：2
2．若将本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部，F(1，0)．
因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
所以|PB|＋PF|≥|BF|＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为2.

抛物线的性质及应用要点
(1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．
(2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
|跟踪训练|
1．已知点Q(2，0)及抛物线y＝上的动点P(x，y)，则y＋|PQ的最小值是(　　)
A．2 B.3
C.4 D.2
解析：

选A.因为抛物线的方程为x2＝4y，
所以焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，
所以抛物线上的动点P(x，y)到准线的距离为
y－(－1)＝y＋1，
由抛物线的定义可得|PF|＝y＋1，又因为Q(2，0)，
所以y＋|PQ|＝y＋1＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝－1＝3－1＝2，
当且仅当F，P，Q三点共线时取等号．
2．(2022·沈阳质量检测)已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是________．
解析：

如图，设△AOB的边长为a，则A，因为点A在抛物线y2＝3x上，所以a2＝3×a，所以a＝6.
答案：6
考点三　直线与抛物线(综合研析)
复习指导：了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景．
(2021·高考全国卷乙)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．
【解】　(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，＝(1－x2，－y2)，
因为＝9，所以
可得
又点P在抛物线C上，所以y＝4x1，即(10y2)2＝4(10x2－9)，化简得y＝x2－，则点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大，
联立y＝kx与y2＝x－并化简，得k2x2－x＋＝0，
令Δ＝(－)2－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直线OQ斜率的最大值为.

解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[注意]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
|跟踪训练|
1．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为(　　)
A．－1　　　 B.0　　　
C.1　　　 D.2
解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不符合题意，故b＝2.
2．(多选)(2022·广东省广雅中学月考)已知O为坐标原点，M(2，2)，P，Q是抛物线C：y2＝2px上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有(　　)
A．△PMF周长的最小值为2
B．若＝λ，则最小值为4
C．若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为－2
D．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为
解析：

选BD.因为F到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，F1，0)，|MF|＝＝，准线l：x＝－1，
对于A，过P作PN⊥l，垂足为N，则|PF|＋|PM|＝|PN|＋|PM|≥|MN|＝2＋1＝3，
所以△PMF周长的最小值为3＋，故A不正确；

对于B，若＝λ，则弦PQ过F，过P作l的垂线，垂足为P′，过Q作l的垂线，垂足为Q′，设PQ的中点为G，过G作GG′⊥l，垂足为G′，则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝|PP′|＋|QQ′|＝2|GG′|≥2×2＝4，即最小值为4，故B正确；
对于C，若直线PQ过点F，设直线PQ：x＝my＋1，
联立消去x得y2－4my－4＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
所以kOP·kOQ＝·＝·＝＝－4，故C不正确；
对于D，因为OF为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为，
因为△POF外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为1＋＝，
所以该圆面积为π()2＝π，故D正确．
3．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E，若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．
解析：

不妨设点A在第一象限．由题意得图，其中AB垂直于抛物线的准线l.则|FC|＝3p，
所以|AF|＝|AB|＝＝
p，则A(p，p)．
易证△EFC∽△EAB，所以＝＝＝2，所以＝，
所以S△ACE＝S△AFC＝××3p×p＝p2＝3，所以p＝.
答案：

[学生用书P436(单独成册)]
[A　基础达标]
1．(2022·荆州市检测)过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为(　　)
A．圆　　 B.椭圆　　
C.直线　　 D.抛物线
解析：

选D.如图，设P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离|PA|等于点P到y轴的距离|PB|，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．
2．已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则点P到抛物线焦点F的距离为(　　)
A．2 B.3
C. D.
解析：选B.因为抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为x＝－1，结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.
3．(2022·哈尔滨六中期末)过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝(　　)
A．5 B.6
C.8 D.10
解析：选C.抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8.
4．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B.4
C.6 D.8
解析：

选B.如图，不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，A(x1，2)，则x1＝＝，由题意知|OA|＝|OD|，所以＋8＝＋5，解得p＝4.
5．(2020·高考全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A. B.
C．(1，0) D.(2，0)
解析：选B.将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2，不妨设D(2，2)，E(2，－2)，由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为.
6．已知直线l是抛物线y2＝2px(p>0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为________．
解析：因为半径为3的圆与抛物线的准线l相切，
所以圆心到准线的距离等于3，
又因为圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，
所以＋＝3，所以p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
7．(2021·新高考卷Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
解析：通解(解直角三角形法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
光速解(应用射影定理法)：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－.
答案：x＝－
8．(2022·山东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，＋＝________．

解析：由题意知＝1，从而p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x.
当直线AB的斜率不存在时，将x＝1代入抛物线方程，
解得|AF|＝|BF|＝2，从而＋＝1.
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝k(x－1)，
联立
整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
从而＋＝＋
＝＝＝1.
综上，＋＝1.
答案：2　1
9．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线方程．
解：设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，
得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.
又x1＋x2＝，x1x2＝4，
所以|AB|＝
＝ ＝3，
所以5＝45，
所以a＝4或a＝－36.
故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.
10.

如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.
由|AF|＝3得2＋＝3，解得p＝2.
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，
不妨设A(2，2)．
由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．
由得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.
又G(－1，0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，
故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
[B　综合应用]
11．(2022·陕西省咸阳市质检)已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是(　　)
A. B.3
C. D.2
解析：

选C.如图，抛物线的准线方程为x＝－，过点Q作QQ′垂直准线于点Q′，|MQ|－|QF|＝|MQ|－|QQ′|，显然当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时|MQ|－|QF|＝|2＋3|－＝.
12．(多选)(2022·盐城市阜宁中学高二检测)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线的准线上，线段PF与抛物线交于点M，则下列判断正确的是(　　)
A．△OMF不可能是等边三角形
B．△OMF可能是等腰直角三角形
C.＝1＋
D.－|PF|＝1
解析：选AC.若△OMF是等边三角形，则边长为1，且点M的横坐标为，纵坐标为±，此时|OM|＝＝≠1，所以△OMF不可能是等边三角形，故A正确；

若△OMF是等腰直角三角形，则只可能是∠OMF＝90°，|OM|＝|FM|＝，
所以|OM|2＋|FM|2≠|OF|2，故B不正确；
过点M作准线的垂线交准线于点N，则|MF|＝|MN|，＝＝1＋＝1＋＝1＋，故C正确，D不正确．
13．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则(　　)
A．∠FQP＝60° B.|QM|＝1
C．|FP|＝4 D.|FR|＝2
解析：

选ACD.如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ，又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°，由抛物线的定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4，|FN|＝|PF|＝2，则△FRN为等边三角形，所以|FR|＝2.故选ACD.
14．(2022·江苏省如皋市高三调研)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点，以AF为直径的圆过点则直线AB的斜率为________．
解析：由抛物线C：y2＝4x可得焦点为F，设A，
由抛物线的定义可得＝x1＋＝x1＋1，
AF的中点为，
所以AF为直径的圆的方程为2＋2＝2，
因为以AF为直径的圆过点，
所以＋＝，可得y1＝4，所以x1＝4，
所以点A，
所以直线AB的斜率为＝.
答案：
[C　素养提升]
15．(2022·湖南名校大联考)已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，－4)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．
解析：由题意得M(2，0)，N(0，－4)，设P(x，y)，由＝λ＋μ得x－2，y＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)．
所以x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.因此λ＋μ＝－＝－＋2＝＋≥，故λ＋μ的最小值为.
答案：
16．(2021·高考全国卷甲)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
解：(1)由题意，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，设C的焦点为F，P在第一象限，
则根据抛物线的对称性，∠POF＝∠QOF＝45°，
所以P(1，1)，Q(1，－1)．
设C的方程为y2＝2px(p>0)，则1＝2p，p＝，
所以C的方程为y2＝x.
由题意，圆心M(2，0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1，所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，
当A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，A1A2，A1A3均与⊙M相切，此时直线A2A3与⊙M相切．
当x1≠x2≠x3时，直线A1A2：x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
则＝1，即(y－1)y＋2y1y2＋3－y＝0，
同理可得(y－1)y＋2y1y3＋3－y＝0，
所以y2，y3是方程(y－1)y2＋2y1y＋3－y＝0的两个根，
则y2＋y3＝，y2y3＝.
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
设M到直线A2A3的距离为d(d>0)，则d2＝
＝＝1，
即d＝1，
所以直线A2A3与⊙M相切．
综上可得，直线A2A3与⊙M相切．