2019-2021北京初三(上)期中数学汇编：点和圆、直线和圆的位置关系.docx

2019-2021北京初三（上）期中数学汇编
点和圆、直线和圆的位置关系
一、单选题
1．（2021·北京四中九年级期中）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．（2021·北京市第五中学分校九年级期中）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（　　）

A．2 B．2 C． D．2
3．（2021·北京·东直门中学九年级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（　　）

A．110° B．90° C．70° D．50°
4．（2019·北京市陈经纶中学九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（     ）

A．130° B．120° C．80° D．60°
二、解答题
5．（2019·北京师大附中九年级期中）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．

（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．
6．（2019·北京市西城外国语学校九年级期中）如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D．
⑴求证：AC=CD
⑵若AC=2，AO=，求OD的长度．

7．（2021·北京市陈经纶中学分校九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，射线AP交⊙O于C点，∠PCO的平分线交⊙O于D点，过点D作交AP于E点．

（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=3，AC=8，求直径AB的长．
8．（2019·北京教育学院附属中学九年级期中）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA＝3时，求AP的长．

9．（2019·北京教育学院附属中学九年级期中）以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．
（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是⊙O的切线，连接OQ．求∠QOP的大小；
（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．

10．（2019·北京育才学校九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，且点C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．
（1）证明：CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长．

11．（2019·北京市第一五六中学九年级期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延长BA到D，使∠BDC＝30°．
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若AB＝2，求DC的长．

参考答案
1．C
【详解】
已知⊙O的半径为5，圆心O到直线L的距离为3，因5＞3，即d＜r，所以直线L与⊙O的位置关系是相交.故选C
2．B
【详解】
本题考查的圆与直线的位置关系中的相切．连接OC,EC所以∠EOC=2∠D=60°，所以△ECO为等边三角形．又因为弦EF∥AB所以OC垂直EF故∠OEF=30°所以EF=OE=2．
3．A
【详解】
试题分析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B=180°，∴∠D=180°﹣70°=110°，故选A．
考点：圆内接四边形的性质．
4．B
【详解】
试题分析：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B=∠ADE=120°．故选B．
考点：圆内接四边形的性质．
5．（1）见解析；（2）5.
【分析】
（1）、连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）、依据切线的性质定理可知OC⊥PE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可．
【详解】
解：（1）、连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD=CD，
∴PA=PC，
在△OAP和△OCP中，，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）、∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠COF=60°，
∵PC是⊙O的切线，AB=10，
∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，
∴OF==10，
∴BF=OF﹣OB=5．

6．⑴证明见解析⑵1
【分析】
（1）由AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证.
（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长.
【详解】
证明：（1）∵OA=OB，∴∠OAB=∠B.
∵直线AC为圆O的切线，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°.
∵OB⊥OC，∴∠BOC="90°." ∴∠ODB+∠B=90°.
∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°.
∴∠DAC=∠CDA. ∴AC=CD.
解：（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，
根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，
解得：OD=1（负值已舍去）.
考点：1.等腰三角形的判定和性质；2.切线的性质；3.勾股定理.
7．（1）证明见解析；（2）10．
【分析】
（1）连接OD若要证明DE为⊙O的切线，只要证明∠DOE=90°即可；
（2）过点O作OF⊥AP于F，利用垂径定理以及勾股定理计算即可．
【详解】
解：连接OD．

∵OC=OD，
∴∠1=∠3．
∵CD平分∠PCO，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∵DE⊥AP，
∴∠2+∠EDC=90°．
∴∠3+∠EDC=90°．
即∠ODE=90°．
∴OD⊥DE．
∴DE为⊙O的切线．
（2）过点O作OF⊥AP于F．
由垂径定理得，AF=CF．
∵AC=8，
∴AF=4．
∵OD⊥DE，DE⊥AP，
∴四边形ODEF为矩形．
∴OF=DE．
∵DE=3，
∴OF=3．
在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2=42+32=25．
∴OA=5．
∴AB=2OA=10．
【点睛】
本题考查1.切线的判定；2.勾股定理；3.垂径定理，属于综合性题目，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
8．（1）60°；（2）.
【详解】
试题分析：(1)、方法1，根据四边形的内角和为360°，根据切线的性质可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度数，可将∠APB的度数求出；方法2，证明△ABP为等边三角形，从而可将∠APB的度数求出；
(2)、方法1，作辅助线，连接OP，在Rt△OAP中，利用三角函数，可将AP的长求出；方法2，作辅助线，过点O作OD⊥AB于点D，在Rt△OAD中，将AD的长求出，从而将AB的长求出，也即AP的长．
试题解析：(1)、方法一： ∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°， ∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，
∵PA、PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°， ∴在四边形OAPB中，
∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°．
方法二：   ∵PA、PB是⊙O的切线∴PA=PB，OA⊥PA；
∵∠OAB=30°，OA⊥PA， ∴∠BAP=90°﹣30°=60°， ∴△ABP是等边三角形，   ∴∠APB=60°．
(2)、方法一：如图①，连接OP； ∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，
又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°， ∴AP==3．

方法二：如图②，作OD⊥AB交AB于点D； ∵在△OAB中，OA=OB， ∴AD=AB；
∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30° ∴AD=OA•cos30°=， ∴AP=AB=3．

考点：切线的性质．
9．（1）∠QOP=60°；（2）QD=.
【详解】
（1）解：如图一，连结AQ．

由题意可知：OQ=OA=1.
∵OP=2,
∴A为OP的中点.
∵PQ与相切于点Q,
∴为直角三角形
∴
即ΔOAQ为等边三角形.
∴∠QOP=60°．
（2）解：由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在与y轴负半轴的交点的位置（如图二）.设直线PQ与的交点为D，过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点.

∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,
∴QP=
∵,
∴OC=
∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,
∴QC=.
∴QD=
10．（1）答案见解析；（2）．
【详解】
分析：（1）要证CF为⊙O的切线，只要证明∠OCF=90°即可；
       （2）根据三角函数求得AC的长，从而可求得BE的长，再利用三角函数可求出MB的值，从而可得到MO的长．
详解：（1）如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∵∠BAC=30°∴∠ABC=60°；
在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°，∴∠E=30°；
∵∠E=∠ECF，∴∠ECF=30°，∴∠ECF+∠OCB=90°；
∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，∴∠OCF=90°，∴CF为⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，
∴AC=ABcos30°=，BC=ABsin30°=1；
∵AC=CE，∴BE=BC+CE=1+．
在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°，
∴MB=BEsin30°=，
∴MO=MB﹣OB=．

点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
11．（1）证明见解析；（2）.
【详解】
试题分析：（1）根据切线的判定方法，只需证CD⊥OC．所以连接OC，证∠OCD=90°；
（2）易求半径OC的长．在Rt△OCD中，运用三角函数求CD．
试题解析：（1）连接OC．
∵OB=OC，∠B=30°，
∴∠OCB=∠B=30°，
∴∠COD=∠B+∠OCB=60°，
∵∠BDC=30°，
∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC，
∵BC是弦，
∴点C在⊙O上，
∴DC是⊙O的切线，点C是⊙O的切点；
（2）解：∵AB=2，
∴OC=OB==1，
∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，
∴DC=OC=.

考点：切线的判定．
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