吉林省白山市2021-2022学年高一上学期期末数学试题.docx

2021~2022学年上学期白山市高一期末
数学试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次方程求集合B，再由集合的并运算求.
【详解】由，
所以.
故选：D.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由根式、对数的性质可得，即可得定义域.
【详解】由题设，，解得：，故函数定义域为.
故选：B.
3. 已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用扇形面积公式即可求解.
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，由题意得，得.
故选：C.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由可以得到，但是反向推导不成立，故可以得到答案.
【详解】由可以得到，但是由，得或.
故选：A.
5. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用排除法结合函数的奇偶性及即可确定函数大致图象.
【详解】由知：是奇函数，排除B、C.
由，排除A.
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简即得解.
【详解】解：由题得.
故选：B
7. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象平移前后的函数解析式，结合诱导公式，写出平移过程即可
【详解】将向右平移个单位得到.
故选：C.
8. 假设某地初始物价为1，其物价每年以5%的增长率递增，当该地物价不低于1.5时，至少需要经过的年数为（ ）（参考数据：取，，）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】应用指数函数表示x年后该地物价，可得指数不等式，结合指对数的关系及对数的运算性质求解即可.
【详解】经过x年后该地物价为，
∴由题意得：，得，而，
∴，故至少需要经过的年数为9.
故选：B.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数（且）的图象过定点P，且角的终边经过P，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先根据对数函数的性质求出定点P，再根据三角函数的定义及两角和的正切公式计算即可
【详解】令，得，进而
，
则，，，
.
故选：BD.
10. 若函数，则下列函数为偶函数的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义判断各选项函数的奇偶性即可.
【详解】，故是奇函数，A错误.
，故是偶函数，B正确.
，故是偶函数，C正确.
，故是偶函数，D正确.
故选：BCD.
11. 函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B
C. 的单调递减区间为（）
D. 图象的对称轴方程为（）
【答案】AD
【解析】
【分析】由图知且求，根据五点法求参数，即可得的解析式，再由正弦型函数的性质求递减区间、对称轴方程，即可判断各选项的正误.
【详解】由图可得：且，
∴，则，A正确.
由，则（），得（），即，B错误.
综上，有，
由，（），得（），C错误.
由（），得（），D正确.
故选：AD.
12. 设函数，则（ ）
A. 当时，的值域为
B. 当的单调递增区间为时，
C. 当时，函数有2个零点
D. 当时，关于x的方程有3个实数解
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，先求出函数在每一段的范围，进而求出函数的值域；
对B，先得出函数的单调区间，然后结合条件求出a的范围；
对C，根据函数零点的个数讨论出a的范围，进而判断答案；
对D，画出函数的图象即可得到答案.
【详解】对A，当时，若x>1，，若x≤1，，于是的值域为，A正确；
的单调递增区间是和，因为的单调递增区间是，所以，即，B正确；
当时，由，得，当时，令，得.此方程有唯一解，得，即，C错误；
当时，如图所示，

的图象与直线有3个交点，D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 写出一个最小正周期为的奇函数：___
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】根据题设函数性质写出一个符合要求的函数即可.
【详解】最小正周期为奇函数，有如：、()等.
故答案为：(答案不唯一).
14. 已知，，且，则的最小值为___________，此时___________.
【答案】 ①. 4 ②. 3
【解析】
【分析】由基本不等式可得，结合已知条件可得的最小值，再根据等号成立的条件求出对应的a、b，即可求.
【详解】由，当且仅当，即，时等号成立，此时.
故答案为：4，3.
15. 已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是___________.
【答案】
解析】
【分析】根据题意求出函数解析式，进而判断出函数的奇偶性和单调性，最后求得答案.
【详解】设，则，得，所以.容易判断是定义在R上的增函数，且为奇函数，所以由，得，得，故a的取值范围是.
故答案为：.
16. 若函数（）的图象在上恰有2个零点，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将问题转化为函数（）图象与直线的交点个数，进而结合三角函数的图象和性质求得答案.
【详解】函数（）的零点个数等价于函数（）图象与直线的交点个数.因为，，所以.由题意得，解得.
故答案为：.
四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 求值：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）尽量将底数改写成幂的形式，根据分数指数幂运算可得；
（2）根据对数的运算及恒等式直接计算可得.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
18. 已知，且为第二象限角.
（1）求值；
（2）求的值
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意先求出，进而根据同角三角函数的基本关系求得答案；
（2）先用诱导公式将式子化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案.
【小问1详解】
由.得.因为为第二象限角，所以，故.
【小问2详解】

19. 某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？
【答案】（1）
（2）当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元
【解析】
【分析】（1）根据已知设成本费用为，仓储费用为元，则，，当时，，，代入即可求得解析式
（2）平均费用为，利用基本不等式计算即可.
【小问1详解】
设成本费用为，仓储费用为元，则，，
当时，，，可得，，
故.
【小问2详解】
平均费用，
当且仅当，即时，等号成立.
故当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元.
20. 已知函数，．
（1）求不等式的解集；
（2）求当取得最大值、最小值时的值，并求最大值、最小值．
【答案】（1）.

（2）时，;
时，.

【解析】
【分析】（1）运用三角函数倍角公式化简函数的表达式，再求解三角不等式可得出结果；
（2）根据函数的定义域及三角函数的单调性，求解函数在特定区间上的最值即可.
【小问1详解】
根据题意，

，即
时 ,
解上面不等式得，

即不等式的解集为.
【小问2详解】
由（1）可知，

时，

时，即时，取得最小值，且最小值为;
时，即时，取得最大值，且最大值为.

21. 已知函数（且）.
（1）若，求的单调区间；
（2）已知有最大值，且，，，求a的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先求出函数的定义域，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则求得答案；
（2）根据题意求出函数的最大值，及的最大值，最后求出答案.
【小问1详解】
由得，则的定义域为.
当时，，函数单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减.
故的单调递增区间为.单调递减区间为.
【小问2详解】
，.得.
因为有最大值.所以在上有最大值，则，.
因为，所以.
因为，，，所以.
所以，解得，故a的取值范围为.
22. 已知函数，当时，取得最小值．
（1）求a的值；
（2）若函数有4个零点，求t的取值范围．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论和两种情况，由其单调性得出a的值；
（2）令，结合一元二次方程根的分布得出t的取值范围．
【小问1详解】
解：当时，，则，故没有最小值．
当时，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，即．
【小问2详解】
的图象如图所示．

令，则函数在上有2个零点，
得
解得，故t的取值范围为．
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