福建省龙岩第一中学2021-2022学年高三上学期第三次月考数学试题.doc

2022届高三第三次月考数学试题2021-12-16
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量满足，若，则夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4.函数的图象大致为（ ）

A． B． C． D．
5．设双曲线E：的离心率为，直线过点和双曲线E的一个焦点，若直线与圆相切，则（ ）
A． B． C． D．
6．过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若，且，则抛物线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
7.正实数满足，，，则实数之间的大小关系为( )
A． B． C． D．
8.若函数在，上单调，且在上存在极值点，则的取值范围是　
A．， B．， C．， D．，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中正确的有（ ）
A．对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个
B．函数可以是某个圆的“优美函数”
C．若函数y=f(x)是“优美函数”，则函数y=f（x）的图象一定是中心对称图形
D．函数可以同时是无数个圆的“优美函数”
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则平分
D．若，延长交直线于点，则三点共线
12.已知无穷等差数列的公差，且是中的三项，则下列结论正确的是（　）
A．的最大值是 B． C．一定是奇数 D．一定是数列中的项
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知椭圆的焦距等于，则实数的值为　　 .
14．已知直线平分圆的周长，则的最小值是　 .
15.将正整数分解成两个正整数的乘积有5三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解，当是正整数的最佳分解时，定义函数，则数列的前项和为　　 .
16．在S﹣ABC三棱锥中，二面角S﹣AB﹣C，S﹣AC﹣B，S﹣BC﹣A的大小均为45°，则三棱锥S﹣ABC的顶点在底面ABC的射影为△ABC的　　 （填重心、垂心、内心、外心）．三棱锥S﹣ABC的外接球的半径为　 　．

四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题10分)
已知数列的前项和，若为等比数列.
（1）求实数及的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.

18.如图，在中，角A，，所对的边分别为，，，已知，，，且为的中点，点满足.
（1）求的值；
（2）求的值.

19．(本小题12分)
如图，在五面体中，平面平面，，，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）已知是线段上点，满足，求二面角的余弦值.

20．在中，，，分别为角，，对边，且同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解的序号组合有哪些？
（2）在（1）的组合中任选一组，求的面积.

21．已知点，，直线与直线的斜率之积为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）点是轨迹上的动点，直线，斜率分别为，满足，求中点横坐标的取值范围.

22.（1）若，判断函数在区间内的单调性；
（2）证明：对任意，，.

2022届高三第三次月考数学试题2021-12-16
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.若复数满足，则的虚部为（ B ）
A． B． C． D．
2．已知向量满足，若，则夹角的余弦值为（ C ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则（ A ）
A． B． C． D．
4.函数的图象大致为（ B ）

A． B． C． D．

5．设双曲线E：的离心率为，直线过点和双曲线E的一个焦点，若直线与圆相切，则（ D ）
A． B． C． D．
6．过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若，且，则抛物线的方程为（ B ）
A． B． C． D．
7.正实数满足，，，则实数之间的大小关系为( A)
A． B． C． D．
8.若函数在，上单调，且在上存在极值点，则的取值范围是　A　
A．， B．， C．， D．，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ABD ）
A． B． C． D．
10．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中正确的有（ BD ）
A．对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个
B．函数可以是某个圆的“优美函数”
C．若函数y=f(x)是“优美函数”，则函数y=f（x）的图象一定是中心对称图形
D．函数可以同时是无数个圆的“优美函数”
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（ ACD ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则平分
D．若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线
12.已知无穷等差数列{an}的公差d∈N*，且5，17，23是{an}中的三项，则下列结论正确的是（　　ABD）
A．d的最大值是6 B．2a2≤a8 C．an一定是奇数 D．137一定是数列{an}中的项
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知椭圆的焦距等于，则实数的值为______或.
14．已知直线平分圆的周长，则的最小值是___________.
15.将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称4×5为20的最佳分解，当是正整数的最佳分解时，定义函数，则数列的前2 020项和为
16．在三棱锥S﹣ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，二面角S﹣AB﹣C，S﹣AC﹣B，S﹣BC﹣A的大小均为45°，则三棱锥S﹣ABC的顶点S在底面ABC的射影为△ABC的　内心　（填重心、垂心、内心、外心）．三棱锥S﹣ABC的外接球的半径为　　．
【解析】解：如图，过S作底面ABC的垂线，垂足为E，过E分别作EF⊥AC，
EG⊥AB，EH⊥BC，连接SE，SG，SH，由三垂线定理可得，SF⊥AC，
SG⊥AB，SH⊥BC，则∠SFE，∠SGE，∠SHE分别为二面角S﹣AC﹣B，
S﹣AB﹣C，S﹣BC﹣A的平面角，
∵二面角S﹣AB﹣C，S﹣AC﹣B，S﹣BC﹣A的大小相等，
可得∠SFE＝∠SGE＝∠SHE，又直角边SE为公共边，∴EF＝EG＝EH，
∴S在底面射影为底面三角形ABC的内心；
∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2+BC2＝AC2，可得△ABC是以角B为直角的直角三角形．由等面积法求得：BC•AB（AB+BC+AC）×EF，得EF＝2，
设D是AC的中点，则D是三角形ABC的外心，三棱锥S﹣ABC的外接球球心为O，
则OD⊥平面ABC，则OD∥SE，∴M，D，E共线，
在直角三角形ABC中，分别以BC，BA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
由E（2，2），D（4，3），得DE．
设三棱锥S﹣ABC的外接球的半径为R，即OC＝OA＝R，
若O与S在平面ABC的同侧，由直角梯形SEDO与直角三角形ODC得：
2，R无解；
若O与S在平面ABC的异侧，则2，解得R，
故答案为：内心；．

四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题10分)
已知数列的前n项和Sn＝2n＋1＋A，若为等比数列.
（1）求实数A及的通项公式；
（2）设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Tn.
（1）根据题意，数列的前n项和Sn＝2n＋1＋A，
则a1＝S1＝22＋A＝4＋A，a2＝S2－S1＝（23＋A）－（22＋A）＝4，
a3＝S3－S2＝（24＋A）－（23＋A）＝8，又由为等比数列，
则a1×a3＝（a2）2，即（4＋A）×8＝42＝16，
解可得A＝－2，则a1＝4－2＝2，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，
（2）设，则设，则，
故，①
则有，②
①－②可得：，
变形可得：，故.
18.如图，在中，角A，，所对的边分别为，，，已知，，，且为的中点，点满足.
（1）求的值；
（2）求的值
（1）解：在中，，
∴，
∴，，所以；
（2）解：，
由，得
，所以，
，
所以，而，
在中，.
19．(本小题12分)
如图，在五面体中，平面平面，，，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）已知是线段上点，满足，求二面角的余弦值.
（1）如图，设中点为，过作，令交AB于M，连接EM.，所以,且OM//AC由已知DE//AC,且.所以DE//OM,且DE=OM,所以ODEM为平行四边形，所以OD//EM.因为为等边三角形，则有，又平面平面，所以平面，所以平面ABC又平面AEB,所以平面平面ABC.
（2）由（1）知、、三条直线两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，
设平面的法向量，则有取
由BC=3BF，BC=2得：，则，，
设平面的法向量，则有.
易知二面角的大小与向量、的夹角大小一致所以二面角的余弦值等于
20．在中，，，分别为角，，对边，且同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解的序号组合有哪些？
（2）在（1）的组合中任选一组，求的面积.
，
由条件②得，即，
解得或（舍），因为，所以.
因为，，而在单减，所以.
于是，与矛盾.所以不能同时满足①②.
当①③④作为条件时：
有，即，解得.所以有解.
当②③④作为条件时：有，即.解得.
因为，所以，为直角三角形，所以有解.
综上所述，满足有解三角形的所有组合为：①③④或②③④.
（2）若选择组合①③④：
因为，所以.
所以的面积.
若选择组合②③④：因为，所以
所以的面积.
21．已知点，，直线与直线的斜率之积为.
（1）求点M的轨迹方程；
（2）点N是轨迹上的动点，直线，斜率分别为，满足，求中点横坐标的取值范围.
（1）解：设，因为直线与直线的斜率之积为，所以，可得.
所以点的轨迹方程为（除去点）.
（2）解：设直线的方程为，，，
由消去得：（*），
所以，，
由（1）知：，，∴.
∴

，得，此时方程（*）有两个不同的实根，符合题意.
.
22.（1）若，判断函数在区间内的单调性；
（2）证明：对任意，，.
（1）因为，所以.
因为，所以，则.
又，知，且时，
故，所以在单调递增.
（2）由（1）知，当时，，即，
所以.令，所以，从而，
所以，因为，，所以，所以，所以，
所以，
因为

，所以，
所以.

试卷第13页，共1页