2023版大一轮数学人教A版-第4节-直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系

知识梳理

1．直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.

位置关系
相离
相切
相交
图形

量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
dC2有以下位置关系：
位置关系
外离
内含
相交
内切
外切
圆心距
与半径
的关系
d>r1＋r2
d<|r1－r2|
|r1－r2|0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·.
诊断自测

1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　)
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含．

2．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝______．
答案　
解析　由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝.又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，由＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝.
3．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
答案　2
解析　由得两圆公共弦所在直线方程x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所求弦长为2.

4．(2020·菏泽模拟)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1，1) 　　 B．(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 　　D．a＝±1
答案　A
解析　因为点(1，1)在圆的内部，
所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝__________，b＝__________.
答案　　－
解析　法一　直线kx－y＋b＝0(k＞0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为1，及圆心坐标为(4，0)，半径为1的两圆相切，
可得
由①②且k＞0，解得
法二　如图，直线分别与两个半径相等的圆相切，由对称性可知，直线与x轴的交点为A(2，0)．

由AB＝2，BM＝1，∠AMB＝90°，得∠MAB＝30°，
可得直线的斜率k＝tan 30°＝，
直线方程为y＝(x－2)＝x－，因此b＝－.
考点一　直线与圆的位置关系
1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1，3]
C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案　C
解析　由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，
解得－3≤a≤1.
2．(2020·衡水模拟)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案　A
解析　法一　(代数法)由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．
法二　(几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．
法三　易得直线l过定点(1，1)．
把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<，∴点(1，1)在圆的内部，故直线l与圆C相交．
3．(多选题)(2021·武汉调研)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A．不论k如何变化，圆心Ck始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3，0)
C．存在定直线始终与圆Ck相切
D．若k∈，则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1
答案　ABC
解析　圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；
若(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，Δ＝36－40＝－4＜0，无解，B正确；
圆心在y＝x上，半径为定值2，故定直线斜率一定为1，设为y＝x＋b，＝2，b＝±2，故存在定直线y＝x±2始终与圆Ck相切，C正确；
圆Ck上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆x2＋y2＝1与圆Ck有两个交点，1＜|k|＜3，
则k∈∪，D错误．
感悟升华　判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
考点二　圆的弦长问题

【例1】 (1)(2020·济南调研)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k的值为(　　)
A．± B．±2 C．± D．±
(2)(2021·中原名校联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x＋4y－12＝0或x＝0
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)圆Cx－1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为C(1，－1)，半径为1，故|CB|＝|CA|＝1，又△CAB为等边三角形，所以点C到直线kx＋y＋1＝0的距离为，即＝，解得k＝±，故选A.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，由得或
∴|AB|＝2，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，半径r＝2，∴圆心C(1，1)到直线kx－y＋3＝0的距离d＝＝，∵d2＝r2－，∴＝4－，即(k＋2)2＝k2＋1，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，满足题意的直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选D.
感悟升华　弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
【训练1】(2020·天津卷)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为__________．
答案　5
解析　由题意知圆心为O(0，0)，圆心到直线的距离d＝＝4.取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB.在Rt△OMA中，r＝＝5.
考点三　圆的切线问题

【例2】 (1)(经典母题)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________．
(2)点P为射线x＝2(y≥0)上一点，过P作圆x2＋y2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P的坐标为(　　)
A．(2，1) B．(2，2) C．(2，) D．(2，0)
答案　(1)x＝2或4x－3y＋4＝0　(2)C
解析　(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，
解得k＝，
∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.

(2)如图所示．
设切点为A，B，则OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB，AP＝BP，AP⊥BP，
故四边形OAPB为正方形，
则|OP|＝，
又xP＝2，则P(2，)．
【迁移】在例2(1)中，已知条件不变，设两个切点为A，B，求切点弦AB所在的直线方程．
解　由题意得，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，此圆的方程为(x－2)(x－1)＋(y－4)(y－1)＝0，
整理得x2＋y2－3x－5y＋6＝0，①
圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1展开得x2＋y2－2x－2y＋1＝0，②
由②－①得x＋3y－5＝0，即为直线AB的方程．
感悟升华　求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．
【训练2】(2020·马鞍山二模)在平面直角坐标系xOy中，若圆C：(x－3)2＋(y－a)2＝4上存在两点A，B满足∠AOB＝60°，则实数a的最大值是(　　)
A．5 B．3 C. D．2
答案　C
解析　

根据题意，圆C的圆心为(3，a)，在直线x＝3上，
分析可得，当圆心距离x轴的距离越远，∠AOB越小．
如图：当a>0时，圆心C在x轴上方，若OA，OB为圆的切线且∠AOB＝60°，此时a取得最大值，
此时∠AOC＝30°，
有|OC|＝2|AC|＝4，
即(3－0)2＋(a－0)2＝16，
解得a＝，故实数a的最大值是，故选C.

考点四　圆与圆的位置关系

【例3】已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
(1)证明　圆C1的圆心C1(1，3)，半径r1＝，圆C2的圆心C2(5，6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，所以|r1－r2|)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，若这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是(　　)
A．{1，－1，3，－3} B．{5，－5，3，－3}
C．{1，－1} D．{3，－3}
(2)(2021·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，所以a＝1，－1，3，－3.故选A.
(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.

A级　基础巩固

一、选择题

1．直线y＝x－和圆x2＋y2－4x＋2y－20＝0(　　)
A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心
C．相离 D．相切
答案　A
解析　将圆的方程配方，得(x－2)2＋(y＋1)2＝25，圆心为(2，－1)，半径r＝5，将(2，－1)代入y＝x－中，得×2－＝－1，故直线过圆心，与圆相交．故选A.
2．圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
答案　A
解析　圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，圆(x－3)2＋(y－4)2＝49的圆心为(3，4)，半径为7，圆心距为＝5＝7－2(等于两圆半径的差)，所以圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49的位置关系是内切．故选A.
3．过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－
答案　B
解析　由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－.
4．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦长为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　A
解析　将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C的圆心坐标为(3，0)，半径为2.因为线段AB的中点坐标为D(2，)，所以|CD|＝＝，所以|AB|＝2＝2.故选A.
5．(多选题)(2021·青岛调研)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则下列结论正确的是(　　)
A．实数a的取值范围为a＜3
B．实数a的取值范围为a＜5
C．直线l的方程为x＋y－1＝0
D．直线l的方程为x－y＋1＝0
答案　AD
解析　若弦AB的中点为M(0，1)，则点M(0，1)一定在圆内，且方程表示圆，即得a＜3，故A正确；
由圆的方程得，圆心坐标为C(－1，2)，又M(0，1)，则kCM＝－1，则kAB＝1，
由点斜式得，直线l的方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0，故D正确．
6．(2020·全国Ⅲ卷)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
答案　D
解析　易知直线l的斜率存在，设直线l的方程y＝kx＋b，则＝　①，设直线l与曲线y＝的切点坐标为(x0，)(x0≥0)，则y′|x＝x0＝x0－＝k　②，＝kx0＋b　③，由②③可得b＝，将b＝，k＝x0－代入①得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以k＝b＝，故直线l的方程为y＝x＋.
二、填空题
7．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______．
答案　10
解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r＝，圆心(1，3)与E(0，1)距离＝，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝2，|BD|＝2＝2，所以四边形ABCD的面积为S＝|AC|·|BD|＝×2×2＝10.
8．(2020·海南三模)已知点P(1，2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则实数k的取值范围是________．
答案　
解析　因为C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0为圆，所以k2＋4－4k2>0，解得－0，解得k∈R，综上可知－m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．
答案　－2　
解析　

根据题意画出图形，可知
A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，
则|AB|＝
＝2，
|AC|＝
＝，
|BC|＝|m－3|.
∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，
∴∠BAC＝90°，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.
即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，
解得m＝－2.
因此r＝|AC|＝＝.
三、解答题
10．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程；
1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
解　(1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)，
则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则＝，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)∵kAC＝＝，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
11．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解　(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，
由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以<1.
解得N|＝2.

B级　能力提升

12．(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
答案　D
解析　

(x－1)2＋(y－1)2＝4，r＝2，
M(1，1)，如图，由题意可知，AB⊥PM，
|PM|·|AB|＝2S四边形APBM
＝2(S△PAM＋S△PBM)
＝2(|PA|＋|PB|)，
∵|PA|＝|PB|，∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4＝4，
当|PM|最小时，|PM|·|AB|最小，
易知|PM|min＝＝，
此时|PA|＝1，AB∥l，
设直线AB的方程为y＝－2x＋b(b≠－2)，
圆心M到直线AB的距离为d＝，
|AB|＝＝，
∴d2＋＝|MA|2，
即＋＝4，解得b＝－1或b＝7(舍)．
综上，直线AB的方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0，故选D.
13．(多选题)(2021·南京质检)已知圆M：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆N：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的圆心不重合，直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.下列说法正确的是(　　)
A．若两圆相交，则l是两圆的公共弦所在直线
B．直线l过线段MN的中点
C．过直线l上一点P(在两圆外)作两圆的切线，切点分别为A，B，则|PA|＝|PB|
D．直线l与直线MN相互垂直
答案　ACD
解析　A．联立两圆方程得D1x＋E1y＋F1＝D2x＋E2y＋F2整理得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，为两圆的公共弦所在直线，故A正确；
B．设圆M的半径为r1，圆N的半径为r2，
M，N，
线段MN的中点为，代入直线l的方程
得(D1－D2)＋(E1－E2)＋F1－F2＝－－＋F1－F2＝－＝r－r，所以只有当两圆半径相等时才成立，故B错误；
C．设P(x0，y0)，则(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋F1－F2＝0，由切线长定理得：|PA|2＝|PM|2－＝x＋y＋D1x0＋E1y0＋F1，|PB|2＝|PN|2－＝x＋y＋D2x0＋E2y0＋F2，所以|PA|2－|PB|2＝0，即|PA|＝|PB|，故C正确；
D．因为M，N，所以直线MN的斜率k1＝，直线l的斜率为k2＝，则k1k2＝－1，所以l与直线MN相互垂直，故D正确．故选ACD.
14．(2020·衡水模拟)已知A(2，0)，直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点．
(1)求PA|的最大值与最小值；
(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径．
解　(1)∵直线4x＋3y＋1＝0被圆C: (x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，∴圆心到直线的距离d＝＝＝1.
∵m<3，∴m＝2，
∴|AC|＝＝，
∴|PA|的最大值与最小值分别为＋，－.
(2)由(1)可得圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13，令x＝0，得y＝0或4；
令y＝0，得x＝0或－6，
∴圆C与坐标轴相交于三点M(0，4)，O(0，0)，N(－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝2，∴△MON内切圆的半径为＝5－.