专题2-4-角的平分线的性质【七大题型】(苏科版(原卷版).docx

专题2.4 角的平分线的性质【七大题型】
【苏科版】

【题型1 作已知角的角平分线】 1
【题型2 角平分线的性质的应用】 3
【题型3 角平分线的性质与等积法】 4
【题型4 角平分线的性质与全等】 6
【题型5 角平分线的判定】 10
【题型6 角平分线的性质与判定综合】 11
【题型7 角平分线的实际应用】 13

【知识点1 角平分线的作法】

①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
【题型1 作已知角的角平分线】
【例1】（2022秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P落在∠AOB的平分线上． （本题有三个结果，三个点分别用字母C、D、E表示）

【变式1-1】（2022秋•瑶海区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．无法确定
【变式1-2】（2022•辽宁）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【变式1-3】（2022春•西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上．
（1）请你过点D作DE平行BC，交AB于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）
（2）如果点E在∠C的平分线上，∠C＝44°，那么∠DEC＝　　．

【知识点2 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

【题型2 角平分线的性质的应用】
【例2】（2022春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（　　）

A．54° B．50° C．48° D．46°
【变式2-1】（2022秋•蓬江区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为　　．

【变式2-2】（2022秋•武昌区期中）在△ABC中∠ABC＝110°，∠C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得∠CBD＝40°．
（1）求证：点E到AC和BD的距离相等；
（2）连接ED，求∠CED的度数．

【变式2-3】（2022春•金堂县期末）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC＝ 　 °．

【题型3 角平分线的性质与等积法】
【例3】（2022•增城区期末）△ABC中，AB＝BC＝CA，三内角平分线交于O，OP⊥AB于P，OM⊥BC于M，ON⊥CA于N，AH⊥BC于H．求证OP+OM+ON＝AH．

【变式3-1】（2022春•泰和县期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．

【变式3-2】（2022春•香坊区期末）已知：点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PM＝PN．
（1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BM＝CN；
（2）在（1）的条件下，AM+AN＝　　AC；
（3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2），若AC：PC＝21，PC＝4，求四边形ANPM的面积．

【变式3-3】（2022秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　　．

【题型4 角平分线的性质与全等】
【例4】（2022春•通道县期末）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．

【变式4-1】（2022秋•金平区校级月考）已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．
（1）求证：BC＝CD．
（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．

【变式4-2】（2022秋•文昌校级期中）在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝　120°　；
②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．

【变式4-3】（2022秋•东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）
（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【知识点3 角平分线的判定】
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

【题型5 角平分线的判定】
【例5】（2022秋•滨湖区校级期中）已知：如图，在△ABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O在∠A的平分线上吗？为什么？

【变式5-1】（2022秋•浦北县校级月考）如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．
求证：点P在∠C的平分线上．

【变式5-2】（2022春•澧县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，其中正确的是　 　．（填序号）

【变式5-3】（2022秋•北关区校级月考）如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．
求证：AD平分∠BAC．

【题型6 角平分线的性质与判定综合】
【例6】（2022秋•费县期末）∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．

【变式6-1】．（2022秋•台安县期中）如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，
（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．

【变式6-2】（2022秋•洛龙区校级月考）如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．

【变式6-3】（2022秋•铁东区校级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．

【题型7 角平分线的实际应用】
【例7】某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一亭子供人们休息，而且要使亭子中心到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有　 　处．
【变式7-1】（2022春•西乡县期末）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）

【变式7-2】（2022春•东山县校级期末）如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．
（1）在图上标出仓库G的位置．
（2）求出仓库G到铁路的实际距离（比例尺为1：10 000，用尺规作图）．

【变式7-3】（2022秋•柘城县校级月考）如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．