2020北京初二(上)期末数学汇编：二次根式.docx

2020北京初二（上）期末数学汇编
二次根式
一、单选题
1．（2020·北京丰台·八年级期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（  ）
A． B． C． D．
2．（2020·北京昌平·八年级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020·北京顺义·八年级期末）将分母有理化的结果为（    ）
A． B． C． D．
4．（2020·北京房山·八年级期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ）

A． B． C． D．＞
5．（2020·北京昌平·八年级期末）如果，则x的取值范围是（　　）
A．x ≤ 0 B．x ≥ 0 C．x＞ 3 D．x < 3
6．（2020·北京石景山·八年级期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（   ）
A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．x=-2
7．（2020·北京通州·八年级期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
二、填空题
8．（2020·北京顺义·八年级期末）为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.

9．（2020·北京昌平·八年级期末）比较大小：（1）______5；（2）______.
10．（2020·北京昌平·八年级期末）如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是______．
11．（2020·北京昌平·八年级期末）已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是______．
12．（2020·北京石景山·八年级期末）对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算Ä 如下 ，如，那么 8 Ä 12 的运算结果为___________．
13．（2020·北京石景山·八年级期末）用一组 a , b 的值说明式 是错误的，这组值可以是 a =_____，b= __________
14．（2020·北京昌平·八年级期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
15．（2020·北京房山·八年级期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
16．（2020·北京通州·八年级期末）计算：_________.
三、解答题
17．（2020·北京房山·八年级期末）计算： ．
18．（2020·北京丰台·八年级期末）先化简再求值：（1＋）÷，其中x＝﹣2．
19．（2020·北京昌平·八年级期末）计算
（1）计算：
（2）解方程组
20．（2020·北京通州·八年级期末）计算：．
21．（2020·北京丰台·八年级期末）计算：．
22．（2020·北京丰台·八年级期末）已知a，b，m都是实数，若a+b=2，则称a与b是关于1的“平衡数”．
（1）4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”；
（2）若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由．
23．（2020·北京顺义·八年级期末）求的值，其中 ．
24．（2020·北京顺义·八年级期末）计算：．
25．（2020·北京顺义·八年级期末）计算：
26．（2020·北京房山·八年级期末）计算：
27．（2020·北京昌平·八年级期末）（1）在如下6×6的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），画出一个面积为17的正方形；

（2）在如图所示的数轴上找到表示的点A（保留画图痕迹）．

28．（2020·北京昌平·八年级期末）计算：.
29．（2020·北京石景山·八年级期末）计算：

参考答案
1．A
【分析】根据二次根式有意义的条件得出关于的不等关系，从而得出的取值范围．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故选：A．

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题关键．
2．C
【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．
【详解】A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B.，与不是同类二次根式；
C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．
3．A
【分析】分子分母同乘以化简即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是正确的找出有理化因式．
4．D
【分析】根据各点在数轴上的位置得出a、b两点到原点距离的大小，把选项中需要比较的项中的数在数轴上表示出来，进而逐一判断即可．
【详解】解：∵由图可知a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
A．a＜b，错误；
B．先将-a在数轴上表示出来，可知-a在b点右侧，所-a＞b，错误；
C．∵ |a|＞|b|，∴，错误；
D．∵=|a|， =|b|，
又|a|＞|b|，∴＞，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查利用数轴比较大小，理解数轴右边的点表示的数比左边的点表示的数大是解答此题的关键．
5．C
【分析】根据分式成立的条件及二次根式有意义的条件列不等式求解.
【详解】解：由题意可知：x-3>0
解得：x＞ 3
故答案为：C
【点睛】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，熟记分母不能为零，被开方数是非负数是本题的解题关键.
6．C
【分析】根据同类二次根式的被开方数相同，即可求出结果．
【详解】由题意得：x+4＝3x，
解得：x＝2．
故选：C．
【点睛】此题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同．
7．D
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：由题意得，x－1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．
8．          a+3
【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.
【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,
∴图2所示题目（字母代表正数）翻译为.
∵a＞0，∴
故答案为：；a+3.
【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键.
9．     <,     >
【分析】（1）首先求出每个数的平方是多少，然后比较出每个数的平方的大小，即可判断出与5的大小关系．
（2）首先求出每个数的平方是多少，然后比较出每个数的平方的大小，即可判断出与的大小关系．
【详解】解：（1） ，，
∵,
∴.
（2），，
∵，，，
∴
∴.
故答案为：＜；＞.
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是比较出每个数的平方的大小．
10．（答案不唯一）
【分析】，一个无理数a与的积是有理数，那么即可判断a与是同类二次根式，即可写出a的值，答案不唯一．
【详解】解：∵，
∴由题意得一个无理数a与的积是有理数，
∴a与是同类二次根式，答案不唯一．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定义以及同类二次根式的积为有理数即可．
11．
【分析】根据二次根式的定义可得，解得：，即可求出y的值，即可求出的值.
【详解】解：∵由二次根式的定义得，解得：，
∴，即：，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查二次根式的定义以及二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义以及二次根式的乘除的运算法则即可.
12．
【分析】按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可．
【详解】8 Ä 12＝==
故答案为：．
【点睛】此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
13．     1     -1
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：a＝1，b＝-1，
此时
故答案为：1，-1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
14．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
15．x≥-2
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可．
【详解】由题意可知x+2≥0，
∴x≥-2．
故答案为：x≥-2．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键．
16．3
【分析】，从而求解.
【详解】解：原式===3．
故答案为3．
【点睛】本题考查二次根式的乘法，掌握计算法则正确计算是本题的解题关键．
错因分析  较容易题.失分原因是化简二次根式出错.
17．
【分析】先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减乘除运算即可．
【详解】解：
＝
＝．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
18．，
【分析】首先计算括号里面的加法，再算括号外的除法，化简后，再代入x的值可得答案．
【详解】解原式＝（＋）•，
＝•，
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝＝．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序和计算法则，正确进行化简．
19．（1）；（2）
【分析】（1）原式进行分母有理化、零次幂、负整数指数幂、算术平方根和绝对值的代数意义对各项进行化简，然后再进行合并即可得到结果；
（2）原方程先利用加减消元法变形为二元一次方程组，再继续运用加减消元法求解即可．
【详解】解：（1）
=-1-2-3+2-
=；
（2）
①+②得，4x+8z=12④
②×2+③得，8x+9z=17⑤
④×2-⑤得，7z=7
解得z=1，
把z=1代入④得，x=1，
把x=1，z=1代入①得，y=2，
所以原方程组的解为：
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算以及解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
20．．
【分析】先化简二次根式，再做二次根式的加减法即可.
【详解】原式

.
【点睛】本题考查了二次根式的加减法法则，利用二次根式的性质进行化简是解题关键.
21．.
【分析】先利用乘法分配律用与括号内两项分别相乘，再化简二次根式即可.
【详解】解：原式=
        =
=.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，二次根式混合运算的运算顺序与实数的混合运算顺序相同，在本题中能用乘法分配律计算是解题关键.
22．（1），；（2）不是，理由详见解析.
【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此即可计算4和关于1的“平衡数”；
（2）先根据，求出m的值，再计算与的和，根据所求得结果即可判断.
【详解】解：（1）2-4=-2，所以4与-2是关于1的“平衡数”，
，所以与是关于1的“平衡数”
故依次填：，；
（2）不是.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴
=
=
=3.    
∴与不是关于1的“平衡数”.
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算.掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“平衡数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并.
23．
【分析】先化简代数式，再将x值代入即可得出结果.
【详解】解：
=
.
∵
∴原式

.
【点睛】本题考查整式的化简求值，正确运用乘法公式化简代数式是关键.
24．
【分析】先把括号内二次根式化简，然后进行二次根式的乘法运算．
【详解】解：

.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
25．
【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．
【详解】解：

.
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
26．-1
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可.
【详解】  

.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
27．(1)见解析;(2)见解析.
【分析】（1）利用勾股定理画出长度为的线段，然后利用旋转画出边长为 的正方形即可；
（2）先在数轴的负半轴上画出边长分别为1、2的矩形，然后在负半轴上截取矩形的对角线得到表示 的点．
【详解】解：（1）如图所示:

（2）如图所示:

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
28．
【分析】先把各个二次根式化简，计算立方根，绝对值化简，最后计算即可.
【详解】解：原式==.
【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，涉及了立方根、二次根式的化简、绝对值的化简等运算，属于基础题．
29．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解.
【详解】原式=
=
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则.
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