20届高考数学一轮(江苏版)习题-第5讲空间向量及其坐标运算.doc

第5讲　空间向量及其坐标运算
一、填空题
1．(2017·徐州模拟)已知向量a＝(2m＋1,3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值为________．
解析　∵a∥b，∴＝＝，解得m＝－2.
答案　－2
2．(2017·海南模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为________．
解析　如图，设正方体棱长为2，则易得＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，

∴sin〈，〉＝＝.
答案　
3．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．
解析　∵a，b，c共面，且显然a，b不共线，
∴c＝xa＋yb，
∴
由①②解得代入③得λ＝.
答案　
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是________．
解析　由题意得，ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)．所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝.
答案　
5．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
解析　由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.
即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－，
∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.
答案　60°
6．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为________．
解析　如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.

＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c
＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
答案　a2
7．(2017·北京顺义一模)设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使＝0成立的点M的个数有________个．
解析　设M(a，b，c)，Ak＝(xk，yk，zk)(k＝1,2,3,4,5)．
则＝(xk－a，yk－b，zk－c)，

∴∴存在唯一点M.
答案　1
8．(2017·扬州中学期末)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基底{，，}表示向量，有＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________．
解析　∵＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋＋，
∴x＝，y＝，z＝.
答案　，
二、解答题
9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
解　(1)∵c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，
∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，
∴|c|＝＝3|m|＝3，
∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，
又∵|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
10．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.

(1)写出点E，F的坐标；
(2)求证：A1F⊥C1E；
(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.
(1)解　E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
(2)证明　∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，
∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，
∴⊥，∴A1F⊥C1E.
(3)证明　∵A1，E，F，C1四点共面，
∴，，共面．
选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)
＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
∴
解得λ1＝，λ2＝1.
于是＝＋.
11．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________.
解析　如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·

＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
答案　0
12．若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫向量p在基底{a，b，c}下的坐标．
已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是________．
解析　设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为x，y，z.则
p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，①
因为p在{a，b，c}下的坐标为(4,2,3)，
∴p＝4a＋2b＋3c，②
由①②得∴
即p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3,1,3)．
答案　(3,1,3)
13．(2017·徐州月考)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量O＝(1,2,3)，O＝(2,1,2)，O＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当Q·Q取得最小值时，O的坐标是_________．
解析　∵点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，
则Q＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，Q＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
Q·Q＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－.即当λ＝时，Q·Q取得最小值－.此时O＝.
答案　
14．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：

(1)·；(2)EG的长；
(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值．
解　设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，
·＝·(－a)＝a2－a·c＝，
(2)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b
＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.
(3)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，cos〈，〉＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.