20届高考数学一轮(江苏版)习题-第2讲两条直线的位置关系.doc

第2讲　两条直线的位置关系
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是________．
解析　直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2且k1k2≠－1.
答案　相交但不垂直
2．(2017·盐城中学模拟)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．
解析　依题意得，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是解得a＝－1.
答案　充要
3．点(2,1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________．
解析　设对称点为(x0，y0)，则
解得故所求对称点为(0,3)．
答案　(0,3)
4．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．
解析　法一　由得
则所求直线方程为：y＝x＝－x，即3x＋19y＝0.
法二　设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，
即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0,0)，
所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，
解得λ＝－，故所求直线方程为3x＋19y＝0.
答案　3x＋19y＝0
5．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．
解析　设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.
答案　x＋2y－3＝0
6．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
解析　由得
∴点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
答案　－9
7．平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是________．
解析　在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，点B关于点(1,1)对称的点为N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为＝，即y＝2x－3.
答案　y＝2x－3
8．(2017·无锡模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝________.
解析　直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝.
答案　
9．(2017·成都调研)已知直线l1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为______．
解析　直线l1的斜率为k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2)．两式联立，解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)．
答案　(1，)
10．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为________．
解析　由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式得反射光线所在的直线方程为x＋2y－4＝0.
答案　x＋2y－4＝0
11．(2017·南京师大附中)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．
解析　显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；
设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得＝，
∴k＝2或k＝－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
答案　2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
12．(2017·淮安一调)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解析　设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.
答案　6x－y－6＝0
13．(2017·南京模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则MP2＋MQ2的值为________．
解析　由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，
∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上，
∵PQ＝＝，∴MP2＋MQ2＝PQ2＝10.
答案　10
14．如图所示，已知两点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．

解析　易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2)，点P关于y轴对称的点为A2(－2,0)，则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(－2,0)两点间的距离，于是A1A2＝＝2.
答案　2
15．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则PA·PB的最大值是________．
解析　易知A(0,0)，B(1,3)且两直线互相垂直，
即△APB为直角三角形，
∴PA·PB≤＝＝＝5.
当且仅当PA＝PB时，等号成立．
答案　5
16．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
解析　设平面上任一点M，因为MA＋MC≥AC，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理MB＋MD≥BD，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若MA＋MC＋MB＋MD最小，则点M为所求．∵kAC＝＝2，
∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.①
又∵kBD＝＝－1，
∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，
即x＋y－6＝0.②
由①②得解得所以M(2,4)．
答案　(2,4)