2018北京五十五中初三(上)期中数学(教师版).docx

2018北京五十五中初三（上）期中
数 学
一、选择题（共18分，每小题2分）以下每个题中，只有一个选项是符合题意的．
1．（2分）抛物线的对称轴是　　
A． B． C． D．
2．（2分）如果，那么下列比例式中正确的是　　
A． B． C． D．
3．（2分）将抛物线的图象向上平移3个单位后得到新的图象，那么新图象的表达式是　　
A． B． C． D．
4．（2分）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为　　
A． B． C． D．
5．（2分）已知，是函数图象上的两个点，则与的大小关系是　　
A． B． C． D．无法确定
6．（2分）某村的粮食总产量为为常数） 吨， 设该村的人均粮食产量为吨， 人口数为人， 则与之间的函数关系式的大致图象应为　　
A ． B ．
C ． D ．
7．（2分）如图，△，和分别是和△的高，若，，则与△的面积的比为　　

A． B． C． D．
8．（2分）如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
9．（2分）太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度（单位：米）与时刻（单位：时）的关系满足函数关系，，是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻是　　

A．12.75 B．13 C．13.33 D．13.5
二、填空题（共18分，每小题2分）
10．（2分）二次函数的图象开口方向　 　．
11．（2分）如图，在中，，，，则等于　　．

12．（2分）已知反比例函数是常数，且的图象在第二、四象限，请写出一个符合条件的反比例函数表达式　　．
13．（2分）如图，点为双曲线上一点轴，，则双曲线的解析式是　　．

14．（2分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使，，然后张开两脚，使、两个尖端分别在线段的两个端点上，若，则的长为　 　．

15．（2分）如图，在中，分别与、相交于点、，且，如果，那么　 　．

16．（2分）二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值为 　　．
17．（2分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，商品进价为每件40元，若设涨价元，总利润为元，则与的函数关系式为　　．
18．（2分）已知二次函数的图象与轴交于和，，其中，与轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②③；④．其中所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题（共64分，第19-22题每题5分，第23-27题每题6分，第28-29题7分）
19．（5分）用配方法求二次函数的顶点坐标．
20．（5分）计算：．
21．（5分）如图，在中，、两点分别在、两边上，且．求证：．

22．（5分）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．请原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大．
（1）直接写出点，，坐标．　　，　　，　　；
（2）在坐标系中画出放大后的图形△．

23．（6分）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，．
（1）求证；
（2）求线段的长．

24．（6分）已知二次函数．
（1）在网格中，画出该函数的图象．
（2）（1）中图象与轴的交点记为，，写出坐标　　，　　；当时，的取值范围　　．

25．（6分）如图，在四边形中，，，点在上，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．

26．（6分）如图，园林小组的同学用一段长16米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙的长度为9米，设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．
（1）①写出与的函数关系是　　；
②自变量的取值范围是　　；
（2）当矩形菜园的面积最大时，求此时边长度．

27．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点，，．
（1）分被求出反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集．

28．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．
（1）求点的坐标；
（2）将线段沿轴向右平移2个单位长度得到线段．
①直接写出点和的坐标；
②若抛物线与四边形有且只有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围．

29．（7分）定义：点为内部或边上的点，若满足、、至少有一个三角形与相似（点不与顶点重合），则称点为的自相似点．
例如：如图1，点在的内部，，，则，故点为的自相似点．
在平面直角坐标系中，
（1）点坐标为，，轴于点，在，，，，这三个点中，其中是自相似点的是　　（填字母）；
（2）若点是曲线上的一个动点，为轴正半轴上一个动点；
①如图2，，点横坐标为3，且，若点是的自相似点，求点的坐标；
②若，点为，且的自相似点有2个，则曲线上满足这样条件的点共有　　个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．

参考答案
一、选择题（共18分，每小题2分）以下每个题中，只有一个选项是符合题意的．
1．【分析】直接根据抛物线顶点式即可求得．
【解答】解：抛物线，
对称轴为直线．
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，即二次函数的顶点坐标是，，对称轴直线．
2．【分析】根据比例的性质，可得答案．
【解答】解：、由比例的性质，得与不一致，故不符合题意；

、由比例的性质，得与不一致，故不符合题意；
、由比例的性质，得与不一致，故不符合题意；
、由比例的性质，得与一致，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．
3．【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线的图象向上平移3个单位后得到新的图象，那么新图象的表达式是，
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．【分析】函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式即可求得的值．
【解答】解：设反比例函数的解析式为，函数的图象经过点，
，得，
反比例函数解析式为．
故选：．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
5．【分析】根据反比例函数的性质得出图象在第一、三象限，并且在每个象限内，随的增大而减小，再得出答案即可．
【解答】解：函数中，
图象在第一、三象限，并且在每个象限内，随的增大而减小，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
6．【分析】根据题意列出方程是常数） ，、根据反比例函数图象性质解答即可 ．
【解答】解： 根据题意， 得
是常数） ，、
、是正比例函数图象， 故此选项错误；
、是一次函数， 故此选项错误；
、是反比例函数图象， 定义域与值域都符合要求， 故此选项正确；
、是二次函数图象， 故此选项错误；
故选：．
【点评】此题主要考查的是反比例函数的定义域图象 ． 同学们要利用实际意义确定其图象所在的象限 ．
7．【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：△，和分别是和△的高，，，
，
与△的面积的比，
故选：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
8．【分析】由，，，推出，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在轴的右边，交轴于负半轴，由此即可判断．
【解答】解：，，，
，
抛物线的图象开口向上，对称轴在轴的右边，交轴于负半轴，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．【分析】利用待定系数法求二次函数的解析式，求顶点坐标的横坐标即可．
【解答】解：把、、代入中得：
，
解得：，
，
，
有最小值，
当时，该地影子最短；
故选：．
【点评】本题是二次函数的应用，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，具体思路为：把三个点的坐标代入解析式中，列三元一次方程组，解出方程组的解，写出解析式，最后求最值．
二、填空题（共18分，每小题2分）
10．【分析】由抛物线解析式可知，二次项系数，可知抛物线开口向上．
【解答】解：二次函数的二次项系数，
抛物线开口向下．
故答案为：向下．
【点评】本题考查了抛物线的开口方向与二次项系数符号的关系．当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．
11．【分析】根据在中，，，，利用勾股定理，可以得到的值，然后即可求得的值．
【解答】解：在中，，，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出相应的锐角三角函数的值．
12．【分析】根据反比例函数的性质得到，然后取即可得到满足条件的反比例函数解析式．
【解答】解：反比例函数是常数，且的图象在第二、四象限，
，
可取，此时反比例函数解析式为．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
13．【分析】根据反比例函数中比例系数的几何意义得到，再根据反比例函数的性质可得到．
【解答】解：，
，
而，
，
双曲线的解析式为．
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为．
14．【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为9.6．

【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
15．【分析】由可得出，根据相似三角形的性质结合，即可求出的值．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据找出的值是解题的关键．
16．【分析】根据△时，抛物线与轴有1个交点得到△，然后解关于的方程即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为1．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数，，是常数，，△决定抛物线与轴的交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
17．【分析】直接利用销量每件利润总利润，进而得出函数关系式．
【解答】解：设涨价元，总利润为元，
则与的函数关系式为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出销量和每件利润是解题关键．
18．【分析】根据与坐标轴的交点判断出，然后把交点坐标代入函数解析式求出、、的关系式，再判断出对称轴在到0之间，然后对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：抛物线与轴的交点为和，，，与轴交于正半轴，
，
，
，
，，故①错误，③错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故②正确；
抛物线与轴的交点有一个为，
，
，
，（已证），
，，
，，
，故④正确，
综上所述，正确的结论有②④．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据图象与坐标轴的交点坐标判断出是负数是解题的关键，结论④的判断有点难度，先根据与轴的交点坐标求出是关键．
三、解答题（共64分，第19-22题每题5分，第23-27题每题6分，第28-29题7分）
19．【分析】把解析式化为顶点式即可．
【解答】解：
，
二次函数的顶点坐标为．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．
20．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
21．【分析】由已知得出，由，根据两边及其夹角法即可得出．
【解答】证明：，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
22．【分析】（1）根据位似变换的性质解决问题即可．
（2）根据，，的坐标画出图形即可．
【解答】解：（1），，．
故答案为，，．

（2）如图，△即为所求．

【点评】本题考查作图位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）根据矩形对边平行，有，可知；
（2）根据相似三角形的性质可得，再利用已知线段的长代入即可求出的长．
【解答】解：（1）证明：四边形是矩形，
，
，，
；
（2）由（1）知，
，
而是边的中点，且，，
，，
，
而
，．
故的长为．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长度．
24．【分析】（1）先确定函数的顶点与对称轴，再确定函数图象与坐标轴的交点坐标，进而用描点法画出函数图象便可；
（2）根据函数图象解答便可．
【解答】解：（1）列表如下：

0
1
2
3
4

3
0

0
3

描点、连线，

（2）由函数图象可知，，，
由函数图象可知，当抛物线在轴上方时，或，
当时，的取值范围为或，
故答案为：；；或，
【点评】本题考查了二次函数图象以及二次函数的性质，函数图象与轴的交点的求法，二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
25．【分析】（1）由、可得出，由等角的余角相等可得出，进而即可证出；
（2）根据相似三角形的性质即可求出的长度，结合即可求出的长度．
【解答】（1）证明：，，
，，
．
，
，
，
．
（2）解：，
，即，
，
．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出；（2）利用相似三角形的性质求出的长度．
26．【分析】（1）①由边长为米，根据已知可以推出米，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式；
②因为篱笆一边靠墙且墙长为9米，所以，又因为，所以；
（2）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．
【解答】解：（1）①边长为米，
而菜园是矩形菜园，
米，
菜园的面积，
菜园的面积与的函数关系式为：，
故答案为：；
②篱笆一边靠墙且墙长为9米，
，
又，
，
故答案是：；

（2），
，
有最大值，是32（平方米），
此时米，
答：当矩形菜园的面积最大时，此时边长度是4米．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用矩形的周长公式用表示，然后利用矩形的面积公式即可解决问题，本题的难点在于得到长．
27．【分析】（1）首先由，在反比例函数的图象上，求得反比例函数的解析式，即可求得点的坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图形，一次函数的值大于反比例函数的值，一次函数在反比例函数上面的部分．
【解答】解：（1）点，在函数上，
，
，
点在上，
，
直线经过，，，
，
解得，
直线解析式为．

（2）观察图象可知，不等式的解集为：或．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由函数图象比较函数大小，能够数形结合是解题的关键．
28．【分析】（1）将抛物线解析式配成顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）根据平移的性质即可得出结论；
（3）结合图象，判断出抛物线和四边形只有两个公共点的分界点即可得出；
【解答解：（1），
抛物线的顶点的坐标为．
（2）由（1）知，，
线段沿轴向右平移2个单位长度得到线段．
，；
（3）如图，

抛物线与四边形有且只有两个公共点，
．
由图象可知，抛物线是始终和四边形的边相交，
抛物线已经和四边形有两个公共点，
将代入中，得．
．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，平移的性质，抛物线的性质，解本题的关键是借助图象找出只有两个公共点的分界点，是一道比较简单的题目，画出图象是解本题的难点，用数形结合的方法，有助于学生理解和找到分界点．
29．【分析】（1）如图1中，连接、、、，作于，于．只要证明，可得点是自相似点，，可得点是自相似点．
（2）①如图2，过点作轴于点．由△，△，推出，，推出，推出△是等边三角形，推出，推出的横坐标为1，的横坐标为2，代入，即可解决问题．
②以为圆心2为半径作圆交反比例函数于，，以为圆心2为半径作圆交反比例函数的图象于，．
【解答】解：（1）如图1中，连接、、、，作于，于．

由题意可知点在上，
，
，
，
，
，，
，
点是自相似点，
同理可得，，
，
点是自相似点，
故答案为，．

（2）①如图2，过点作轴于点．

点的横坐标为3，
，
，
，，，
直线的表达式为，
在中，，，
设，则，
，
，
△，△，
，，
，
△是等边三角形，
，
的横坐标为1，的横坐标为2，代入，
可得，
综上所述，点坐标为或．

②如图3中，满足条件的点有4个．

以为圆心2为半径作圆交反比例函数于，，以为圆心2为半径作圆交反比例函数的图象于，，
故答案为4．
【点评】本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、一次函数的应用、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
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