相似三角形的性质及应用--知识讲解(提高).doc

相似三角形的性质及应用--知识讲解（提高）

【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.
【要点梳理】
要点一、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比
∽，则
由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽，则分别作出与的高和，则

要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
要点二、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.

要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：

平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

要点诠释：　
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．

【典型例题】
类型一、相似三角形的性质
1.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（ ）
　　A. 2：5　　　 B．14:25　　　 C．16:25　　　 D. 4:21

【思路点拨】相似三角形的面积比等于相似比的平方，但是一定要注意两个三角形是否相似.
【答案】B.
【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x,
　　　　在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,
　　　　由△ADE∽△ACB得，
　　　　S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.
【总结升华】关键是要确定哪两个是相似三角形.
举一反三
【变式】在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.

【答案】过点B做BF⊥AC,垂足为点F，
∵AD,CE分别为BC,AB边上的高，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴Rt△ADB∽Rt△CEB,
∴,
且∠B=∠B，
∴△EBD∽△CBA,
∴,
∴,
又∵DE=2，
∴AC=6，
∴

2.已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，
且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

【答案与解析】∵DA∥BC，
　　　　 ∴△ADE∽△BCE．
　　　　 ∴S△ADE:S△BCE=AE2:BE2．
　　　　 ∵AE︰BE=1:2，
　　　 　 ∴S△ADE:S△BCE=1:4．
　　　 　 ∵S△ADE=1，
　　　 　 ∴S△BCE=4．
　　　　 ∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，
　　　　 ∴S△ABC=6．
　　　　 ∵EF∥BC，
　　　　 ∴△AEF∽△ABC．
　　　　 ∵AE:AB=1:3，
　　　　 ∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．
　　　　 ∴S△AEF==．
　【总结升华】注意，同底(或等底)三角形的面积比等于该底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．
举一反三：

【变式】如图，已知中，，，，，点在上， (与点不重合)，点在上.
(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.
　　(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.

【答案】 (1)∵，

∽

.
　　　 　 (2)∵的周长与四边形的周长相等.

=6，

∽

.

类型二、相似三角形的应用
3.（2020春•江津区校级月考）如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．

【答案与解析】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，
∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴=，
∴=，
解得：CH=3.78米，
∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．
答：故树高DC为5.2米．

【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
举一反三：
【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.

【答案】作EF⊥DC交AD于F.

∵AD∥BE，∴
又∵，
　　　 ∴，
∴.
　　　 ∵AB∥EF， AD∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴EF=AB=1.8m.
　　　 ∴m.
　4.（2020•齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015=　 　．

【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到A1B1=，AA1=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，从而找出规律答案即可求出．菁优
【答案与解析】2（）2014
解：∵四边形ABCB1是正方形，
∴AB=AB1，AB∥CB1，
∴AB∥A1C，
∴∠CA1A=30°，
∴A1B1=，AA1=2，
∴A1B2=A1B1=，
∴A1A2=2，
同理：A2A3=2（）2，
A3A4=2（）3，
…
∴AnAn+1=2（）n，
∴A2014A2015=2（）2014，
故答案为：2（）2014．
【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律.