广东省深圳外国语学校2018-2019学年第二学期高三第一次热身考试文科数学.docx

2018-2019学年第二学期高三第一次热身考试
文科数学
全卷满分150分，考试用时120分钟．

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并上交．

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数是一元二次方程的一个根，则
（A） （B） （C） （D）
（3） 为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是

（A） （B） （C） （D）
（4）3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公
益活动的概率为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，则该椭圆的短轴长为
（A） （B） （C） （D）
（6）《孙子算经》中有这样一道题目：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问
城中家几何？”意思是：有100头鹿，每户人家分1头还有剩余；每3户人家再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计流程图如下，则输出的值是

（A） （B） （C） （D）
（7）一直线与平行四边形的两边分别交于，且交其对角线于，若，则
（A）2 （B） （C）3 （D）5
（8）一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一
圆周），则该几何体的表面积为
（A） （B）
（C） （D）

（9）已知数列的通项为，数列的前项和为，
若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足的的最大整数值为
（A） （B） （C） （D）
（10）已知函数（），．若在区间内有零点，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（11）已知点A,B,C,D均为球O的表面上,，，若三棱锥D-ABC体积的最大值为，则球O的表面积为
（A） （B） （C） （D）
（12）已知定义在上的函数满足条件，当时，，当时，的最小值为3，则的值为
（A） （B） （C）2 （D）1

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个考生都必须作答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．
（13）已知实数满足，则的最大值是_____.
（14）函数为奇函数，则实数
（15）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，，，动点在双曲线上，则的最小值为_____.
（16）已知函数，数列中，（），则数列的
前40项之和__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知中，角，，的对边分别为，，．
（Ⅰ）若，，依次成等差数列，且公差为2，求的值；
（Ⅱ）若的外接圆面积为，求周长的最大值．

（18）（本小题满分12分）
在四棱柱中，四边形是平行四边形，平面，，，为中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求多面体的体积.

（19）（本小题满分12分）
我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程，某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能处理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：

（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
（Ⅲ）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．

（20）（本小题满分12分）
已知是抛物线上的一点，点，以为直径的圆交直线于两点，直线与平行，且直线交抛物线于两点.
（Ⅰ）证明：线段的长为定值；
（Ⅱ）若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程.

（21）（本小题满分共12分）
已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求的解析式及函数的单调区间；
（Ⅱ）是否存在常数，使得对于定义域内的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

请考生在第（22）、（23）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
（22）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆：的圆心为．
（Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）过原点且与直线（t为参数，）平行的直线与的交点为，，且的面积为，求的值．

（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数．
（Ⅰ）画出的图象，并由图象写出的解集；
（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．

文科数学、答案

一、 选择题：　
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
Ｃ
Ｄ
Ｄ
Ｄ
Ｂ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｄ
B
Ａ
二、 填空题：
（13）　　　　　　（14）　　　　　　（15）　　　（16）
三、解答题：
（17）解：（Ⅰ），，成等差，且公差为2，，，
又，，
，，
恒等变形得，解得或．又，．
（Ⅱ）在中，，
，，．
的周长
，
又，，
当即时，取得最大值．
（18）（Ⅰ）在中，，，，
由余弦定理得，故，
.
又平面，平面，
.
又，平面
平面，平面平面.
（Ⅱ）设的中点分别为，连接，，
∵分别为的中点，
∴多面体为三棱柱.
∵平面，∴为三棱柱的高.
，，
三棱柱体积为.
在四棱锥中，. ∴底面，.
，
四棱锥的体积为，
∴多面体的体积为.
（19）解析：（Ⅰ）数据整理如下表：
健康状况
健康
基本健康
不健康尚能自理
不能自理
80岁及以上
20
45
20
15
80岁以下
200
225
50
25
从图表中知不能自理的80岁及以上长者占比为
故抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为人，80岁以下的为10人.
（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为
用样本估计总体， 80岁及以上长者共有万
80岁及以上长者占户籍人口的百分比为
（Ⅲ）先计算抽样的600人的预算，其中享受1000元/年的人数为人
享受600元/年的人数为人
预算为元
用样本估计总体，全市老人的总预算为元
政府执行此计划的年度预算约为亿元.
（20）解：（Ⅰ）设，圆的方程，
令，得，所以 ，

（Ⅱ）设直线的方程为，则
由 消去，得.
，
因为，所以，则，
所以，解得或，
当或时，点到直线的距离为，
因为圆心到直线的距离等于到直线的距离，所以，
又，消去得，求得，
此时，直线的方程为，
综上，直线的方程为或.
（21）解：（Ⅰ）由，得．
即在上恒成立．
设函数，．
则．
∵，∴．
∴当时，．
∴在上单调递减．
∴当时，．
∴，即的取值范围是．
（Ⅱ），．
∴．
设，则．
由，得．
当时，；当时，．
∴在上单调递增，在上单调递减．
且，，．
据（Ⅰ），可知．
（ⅰ）当，即时，即．
∴在上单调递减．
∴当时，在上不存在极值．
（ⅱ）当，即时，
则必定，使得，且．
当变化时，，，的变化情况如下表：

-
0
+
0
-

-
0
+
0
-

↘
极小值
↗
极大值
↘
∴当时，在上的极值为，且．
∵．
设，其中，．
∵，∴在上单调递增，，当且仅当时取等号．
∵，∴．
∴当时，在上的极值．
综上所述：当时，在上不存在极值；
当时，在上存在极值，且极值均为正．
注：也可由，得．令后再研究在上的极值问题．
（22）解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程为，
故是以为圆心，为半径的圆．
将，代入的普通方程中，得到的极坐标方程为或，而当时得，故的极坐标方程为．
（Ⅱ）直线的极坐标方程为，与的交点分别为，，
，得（），
得或．
（22）解：（Ⅰ）的图象如右图所示，由图象可得的解集
为（或写为）．
（Ⅱ）因，从而只需，即，
解之得，故实数的取值范围为．

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