2021全国高一(上)期中数学汇编：数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点.docx

2021全国高一（上）期中数学汇编
数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
一、单选题
1．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过500元的部分

超过500元的部分

若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为　　
A．1500元 B．1550元 C．1750元 D．1800元
2．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过的，按每立方米元收费；用水超过的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费元，则该职工这个月实际用水为（    ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（）与其运费（元）由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为______
.
4．某商品以每件3元的价格出售时，销售量为8万件.经过调查，单价每提高0.1元，销售量减少2000件，要使该商品销售总收入不少于24.48元，该商品单价的定价（元）范围是___________.
三、解答题
5．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

6．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
7．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本）
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值．
8．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x) 75恒成立; 恒成立．
(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;
(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．
9．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.

（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，图2表示的种植成本与时间的函数关系式；　
（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？
10．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(百元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为）
(2)该单位每月处理成本的最小值和最大值分别是多少百元？
11．某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：
(1)将利润（单位：元）表示成月产量x的函数
(2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）

参考答案
1．A
【分析】设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，可得到获得的折扣金额元与购物总金额元之间的解析式，结合，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．
【详解】设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，
由题设可知：，
因为，所以，所以，解得，
故此人购物实际所付金额为（元），故选A．
【点睛】本题为数学应用题，应依据题意构建数学模型（其数学模型为分段函数）后解一元一次不等式可得实际问题的解，注意利用不同范围上的函数值的范围构建需要的不等式．
2．A
【分析】先写出用水量与电费发函数关系，再解方程.
【详解】设该职工用水时，缴纳的水费为元，由题意得，
则，解得.
答：该职工这个月实际用水为.
故选：A
【点睛】解应用题关键是找出变量之间的关系，列方程求解未知量.
3．19
【详解】由直线图可知行李重量超出部分每10千克运费为300元
∴超出部分每千克为30元
设免费可携带行李的最大重量为 ，运费为 ，携带行李重量为 ，可得 把 代入可知 所以答案为
4．##
【分析】设定价元，销量为万件，结合题设列一元二次不等式求解集，进而确定定价范围.
【详解】设定价元，则销量为万件，
由题意，，解得.
∴定价区间为.
故答案为：.
5．（1）
（2）3333辆/小时
【详解】（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为
（2）依题并由（1）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（1）函数v（x）的表达式
（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
6．（1）炮的最大射程是10千米．
（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
【详解】试题分析：（1）求炮的最大射程即求（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解
试题解析：（1）令y＝0，得kx－ （1＋k2）x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标
⇔存在k＞0，使3.2＝ka－ （1＋k2）a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．
考点：函数模型的选择与应用
7．（1）；（2）年产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，利润的最大值为万元．
【分析】(1)由利润销售收入总成本写出分段函数的解析式即可；
（2）利用配方法和基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个中最大的即可.
【详解】（1）当，时，
．
当，时，
．
．
（2）当，时，，
当时，取得最大值（万元）
当，时，
当且仅当，即时等号成立．
即时，取得最大值万元．
综上，所以即生产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元．
8．(1) 函数模型，不符合公司要求,详见解析(2) [1，2]
【分析】（1）依次验证题干中的条件即可；（2）根据题干得，要满足三个条件，根据三个条件分别列出式子得到a的范围，取交集即可.
【详解】(1)对于函数模型,
当x∈[25, 1600]时， f (x)是单调递增函数，则f (x) ≤f (1600) ≤75,显然恒成立，若函数恒成立，即,解得x≥60．∴不恒成立，
综上所述，函数模型，满足基本要求①②，但是不满足③，
故函数模型，不符合公司要求．
(2)当x∈[25，1600]时，单调递增，
∴最大值∴
设恒成立，∴恒成立，即,
∵，当且仅当x=25时取等号，∴a2≤2+2=4
∵a≥1, ∴1≤a≤2, 故a的取值范围为[1，2]
【点睛】这个题目考查了函数模型的应用，这类题目关键是选对函数模型，读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用数学知识解决问题.
9．（1），，；（2）从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.
【分析】（1）由题意，根据分段函数与二次函数的图像，分别求出函数解析式即可；
（2）设上市时间为时的纯收益为，根据题意，由（1）的结果得到，分别求出每一段的最大值，即可得出结果.
【详解】（1）由图1可得，当时，；
当时，，
即图1表示的市场售价与时间的函数关系式；
由图2，设对应的二次函数解析式为，
又该函数过点，所以，解得，
则，；
（2）设上市时间为时的纯收益为，
则由题意，得，
即，
当时，，
当时，取得最大值；
当时，，
当时，取得最大值.
综上，当，即从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.
【点睛】本题主要考查二次函数模型与分段函数模型的应用，属于常考题型.
10．(1)400吨
(2)最小值800百元，最大值1400百元
【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.
（1）
由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为，显然，
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立
故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；
（2）
对称轴
函数在[400，600]单调递增
当时，
当时，
答：该单位每月处理成本的最小值800百元，最大值1400百元.
11．(1)
(2)当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000
【分析】（1）根据题意建立函数关系式，写出分段函数形式；
（2）分别求各段的最大值，即可求出公司利润最大值及取最大值时的产量.
（1）
由题意可得：
当时，；
当时，；
所以.
（2）
当时，，即最大值为25000；
当时，为减函数，所以当时，，故.
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000.
【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
（1）求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
（2）求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围.

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