2022北京密云高三一模数学(教师版).docx

2022北京密云高三一模
数 学
2022.4

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，且，则可以是
A． B． C． D．
2．已知，，，则的值为
A．2 B． C． D．
3．已知为等差数列，为其前项和，若，则公差等于
A．3 B． C． D．
4．已知复数（其中），则下面结论正确的是

A．
B．
C．
D．在复平面上，对应的点在直线上
5．二项式的展开式中含项的系数是
A． B． C． D．15
6．已知，则下列各式中一定成立的是
A． B．
C． D．

第8题图
7．在中，角的对边分别是，则“”是“”的
　 A．充分而不必要条件 　　B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件
8．设函数在的图象大致如图所示，则的最小正周期为
A． B． C． D．
9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数叫做素数），如36＝5＋31．在不超过36的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于36的概率是
A． B． C． D．
10．正方体的棱长为1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，则下列结论中不正确的是
A．四边形为平行四边形
B．若四边形面积,,则有最小值
C．若四棱锥的体积，，则常函数
D．若多面体的体积，，则为单调函数

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知抛物线，则抛物线的准线方程是 ．
12．已知成等比数列，且，则= ．
13．银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率是______．

14．设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为______．
15．已知点，和点，．给出下列四个结论
①点到直线的最大距离为；
②当最大时，=；
③的面积的最大值为；
④若，则．
其中所有正确结论的序号是________．

三、解答题: 本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题满分14分）
在△中，内角，，的对边分别为，，，且，．再在条件①、条件②、条件③中选择1个作为已知，使得△存在并且唯一．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求△的面积．
条件①；条件②；条件③．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

17．（本小题满分14分）
从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”．十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域．2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000多人．中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照，，，，分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图．
0.05
0
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
时间/（小时）
0.15
0.20
0.40
频率
组距
参加志愿服务时间频率分布直方图

（Ⅰ）根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数．并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值．
（Ⅱ）若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，求的分布列并求数学期望．
（Ⅲ）用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在的数据组成新样本组A，其方差记为，把时间段在的数据组成新样本组B,其方差记为，原来600个样本数据的方差记为，试比较，，的大小（结论不要求证明）．

18．（本小题满分15分）
如图所示，在直三棱柱中，，，点分别为棱，的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．
（Ⅰ）设平面与平面ABC相交于直线m, 求证：；
（Ⅱ）当为线段的中点时，求点到平面的距离；
（Ⅲ）是否存在一点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．
A
A1
B
B1
C1

D
E
F
C
第18题图

19．（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证: 函数存在极小值；
（Ⅲ）请直接写出函数的零点个数．

20．（本小题满分14分）
已知椭圆的一个顶点坐标为，椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程和椭圆的短轴长；
（Ⅱ）若过点的两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，（，与不重合），试判断直线是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）作于点，则存在定点，使得为定值，请写出这个定值（只要求写出结果）．

21．（本小题满分14分）
设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为．
（Ⅰ）当时，是否存在理想集？若存在，求出相应的；若不存在，请说明理由．
（Ⅱ）当时，是否存在理想集？若存在，直接写出对应的 以及满足条件的；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）证明：当时，．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
D
B
D
C
A
B
D

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12．4
13． 14．3；
15．①②④ （选择中含有③，记0分；当选择中不含③时，①②④中只选一个，记3分；①②④中只选两个，记4分；全对，记5分．）
备注：若小题有两问，第一问3分，第二问2分．

三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题满分14分）
解：选择条件①：．
（Ⅰ）在中，
……………4分
． ……………5分
由正弦定理得， ……………7分
即，解得． ……………8分
（Ⅱ）所以的面积为
． ……………14分
选择条件③：．
（Ⅰ）在中，
由余弦定理得， ……………3分
即，
所以． ……………6分
因此（舍负）． ……………8分
（Ⅱ）所以的面积为
． ……………14分
注意：选择②，．
因为，所以，与是钝角矛盾，这样的三角形不存在．
17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）平均数为小时；……2分
（公式和结果各占1分）
这600个样本数据的75%分位数是4.5+0.75=5.25． ……………3分
（Ⅱ）由频率分布直方图可得，从600名样本数据中随机抽取1名学生，达到“预期合格”
概率为． ……………4分
所以，的取值范围为． ……………..5分
，
，
，
． ……………9分
所以，的分布列为

0
1
2
3

........……10分
（单个概率写对，表格列对共4分，若单个概率有错误，则写对1个给1分，表格不给分了）

． …………12分
或写成：．
（列式和结果各占1分）
（Ⅲ）<<． …………14分
（全对2分，写对一组大小关系给1分）
18．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）方法一：
因为平面平面， --------1分
平面平面=，平面平面=，
所以． ---------2分
因为分别为,中点,
所以．- --------3分
所以． -----4分
方法二：
因为分别为,中点,
所以．- --------1分
因为，所以．
因为平面，平面，
所以平面． ---------2分
又因为平面平面=，平面，
所以． ---------3分
因为，所以． --------4分
方法三：
因为平面平面，平面，
平面 ---------1分
又因为平面平面=，
所以． ---------2分
因为分别为,中点,
所以．- --------3分
所以． ---4分
A
A1
B
B1
C1
D
E
F
C
Z
x
y
（Ⅱ）在直三棱柱中，平面，，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图． ---------5分
由题意得,
所以，,．
设平面的法向量为，则
即 ---------6分
令，得．
于是． ---------7分
设点到平面的距离为，则． ---------8分
因为，
所以． ---------9分
（Ⅲ）因为，
所以，，．
设，（ ）．
则．
设平面的法向量为，
则即 ---------10分
令，得，
于是． ---------11分
因为平面，所以是平面的法向量． ---------12分
所以． ---------13分
设二面角的大小为，则．
所以，解得，或（舍）． ---------14分
所以存在一点，符合题意，并且． ---------15分
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）的定义域为． ---------1分
因为， ---------2分
所以切点的坐标为．
因为， ---------4分
． ---------5分
所以切线的斜率，
所以切线的方程为． ---------6分
（Ⅱ）方法一：
令，
． ---------8分
因为且，
所以，，，
从而得到在上恒成立．
所以在上单调递增． ---------10分
所以，，在区间的变化情况如下表：

极小值

所以时，取得极小值，问题得证． ---------12分
方法二：
因为，
当时，
当时，，
所以． ---------8分
当时，，
所以． ---------10分
所以，，在区间 的变化情况如下表：

极小值

所以时，函数取得极小值，问题得证． ---------12分
（Ⅲ）当或时，函数有一个零点， ---------13分
当且时，函数有两个零点． ---------14分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意可知
解得
所以椭圆的方程为，短轴长为2．…………………………5分
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设的方程为
由得， ………………6分
所以．
因此．
设，，
则，． ……………………7分
因为，所以，即．………8分
因此，
所以． ……………………9分
因此，
化简得， ……………………10分
解得，或．
所以直线的方程为，或． …………………11分
此时直线经过定点（舍），或． …………………12分
当直线的斜率不存在时，容易验证直线符合题意要求． ………13分
综上可求，直线经过定点．
（Ⅲ）． ………………………………14分
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当时，不存在理想集． --------------------------------2分
理由如下：
当时，， ------------------------------------3分
假设存在理想集，
因为对于，为偶数，
所以为两个奇数一个偶数，所以， ------------------------------------4分
又因为，，均与“，”矛盾！
所以假设不成立，
所以当时，不存在理想集． ------------------------------------5分
（Ⅱ）当时，存在理想集，且． -------------------------7分
，取即可满足要求． --------------9分
（Ⅲ）当时，
（1）先证明时，一定存在理想集．
任取的一个6元子集，则中至少含有4个元素．
记，则中至多有3个偶数，至少有1个偶数．
① 若中恰有3个偶数，则，已满足题意；
② 若中恰有2个偶数，则中含有来自的至少两个奇数．
对于，，这三种情况，
都可以从，，中找到一个偶数组成满足题意的三数组；
③ 若中恰有1个偶数，则，此偶数与即可组成满足题意的三数组；------------------------------------12分
所以．
（2）再用反证法证明．
假设，取，则中含有4个奇数，1个偶数．
因为对于，且为偶数，
所以．且另外两个数均为奇数．
又因为任意两个奇数之差大于等于2．
所以，与“”矛盾！
所以假设不成立，所以． ------------------------------------14分
综合（1）（2）所证，．
12 / 12