浙教版九年级上册数学期末试卷.doc

浙教版九年级上册数学期末试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列图形是中心对称图形的有几个？（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（　　）
A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019
3．如图是某小组做用频率估计概率“的实验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．掷一枚均匀的正六面体骰子，出现3点朝上
4．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝78°，则∠ACB的度数为（　　）

A．102° B．51° C．41° D．39°
5．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）

A．180（1﹣x）2＝461 B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442 D．368（1+x）2＝442
6．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为4cm，那么这个圆锥的侧面积为（　　）
A．10cm2 B．10πcm2 C．20cm2 D．20πcm2
7．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1＝（k＞0，x＞0），y2＝（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD，若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是（　　）

A．1 B． C．2 D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x+3）2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于点C、BD⊥y轴于点D，则图中阴影部分图形的面积和为（　　）

A．18 B．12 C．9 D．6
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD边上，DE＝1，△ADE与△AFE关于AE所在直线对称，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，则FG的长为（　　）

A．5 B． C． D．4
10．七年级五个班的班长因为参加校会而没有看年级的乒乓球比赛．年级辅导员让他们猜比赛的结果.1班班长猜：2班第三，3班第五；2班班长猜：1班第一，5班第四；3班班长猜：5班第四，4班第五；4班班长猜：3班第一，2班第二；5班班长猜：1班第三，4班第四．辅导员说，每班的名次都至少被一人说对，那么1～5班的名次依次是（　　）
A．1、2、3、4、5 B．3、2、1、5、4 C．1、3、2、5、4 D．3、2、1、4、5
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．如图，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是　 　．

12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连结C′B、BB′．若AC＝2，则BC′＝　 　．

13．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为　 　．
14．一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球．每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意模出1个球，是黑球”的事件类型是　 　（填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”）．
15．如图，△ABC为等边三角形，D为AB上一点，点E为CD延长线上一点，CE＝CB，连接BE并延长交CA的延长线于点F，若AD＝3，CF＝7，则CD＝　 　．

16．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为　 　m．

三．解答题（共8小题，满分80分）
17．已知二次函数y＝x2﹣2x+1，求3≤x≤5范围内y的最小值．
18．有AB两个口袋，A口袋中装有两个分别标有数字2，3的小球；B口袋中装有三个分别标有数字﹣1，4，﹣5的小球．小明先从A口袋中随机取出一个小球，用m表示所取球上的数字，再从B口袋中随机取出两个小球，用n表示所取球上的数字之和．
（1）用树状图法或列表法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果；
（2）求的值是整数的概率．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在BC边，且⊙O经过A，B两点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AO，求证：AO平分∠CAB．

20．某地区2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费2880万元．
（1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．
21．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P在CD的延长线上，PN＝PE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．

22．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝x+2和双曲线y＝相交于A、B两点．

（1）连结AO、BO，求出△AOB的面积．
（2）已知点E在双曲线y＝上且横坐标为1，作EF垂直于x轴垂足为F，点H是x轴上一点，连结EH交双曲线于点I，连结IF并延长交y轴于点G，若点G坐标为（0，﹣），请求出H点的坐标．
（3）已知点M在x轴上，点N是平面内一点，以点O、E、M、N为顶点的四边形是菱形，请你直接写出N点的坐标．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）且AB＝2，求此抛物线的解析式；
（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．
24．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．

（1）求证：AB＝AD；
（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：从左到右第一、第二、第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形．
故选：C．
2．解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．
故选：C．
3．解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是＝0.5，故本选项错误；
B、从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率是≈0.33，故本选项正确；
C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是＝0.25，故本选项错误；
D、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的频率约为：≈0.17，故本选项错误；
故选：B．
4．解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣78°＝102°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×102°＝51°．
故选：B．

5．解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，
故选：B．
6．解：圆锥的侧面积＝2π×4×5÷2＝20πcm2．
故选：D．
7．解：由题意可求B（0，﹣1），
∵直线y＝x﹣1与y1＝交于点C，
∴S△OCE＝k，
设D（x，），
∴S△BOD＝×1×（﹣x）＝﹣x，
∵△COE的面积与△DOB的面积相等，
∴k＝﹣x，
∴k＝﹣x，
∴D（﹣k，﹣2），
∵D点在直线y＝x﹣1上，
∴﹣2＝﹣k﹣1，
∴k＝2，
故选：C．
8．解：把（0，0）代入y＝﹣（x+3）2+k，得﹣（0+3）2+k＝0，
解得k＝6，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+6，
∴B点坐标为（﹣3，6），
∵BC⊥x轴于C，
∴图中阴影部分图形的面积和＝S矩形OCBD＝3×6＝18．
故选：A．
9．解：如图，连接BE，

∵△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，
∴AF＝AD，∠EAD＝∠EAF，
∵△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠EAD．
∴∠GAB＝∠EAF，
∴∠GAB+∠BAF＝∠BAF+∠EAF．
∴∠GAF＝∠EAB．
在△GAF和△EAB中，
，
∴△GAF≌△EAB（SAS）．
∴FG＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝4．
∵DE＝1，
∴CE＝3．
在Rt△BCE中，BE＝＝＝5，
∴FG＝5，
故选：A．
10．解：如图所示：

一班名次
二班名次
三班名次
四班名次
五班名次
一班班长猜

3
5

二班班长猜
1

4
三班班长猜

5
4
四班班长猜

2
1

五班班长猜
3

4

正确结果

∵每班的名次都至少被他们中的一人说对了，
∴五班名次一定是第4，
∴四班名次为第5，
进而可知三班名次为第1，
一班名次为第3，
二班名次为第2．
综上所述：1～5班的名次依次是：3、2、1、5、4．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y＝得：y1＝2，y2＝，
∴A（，2），B（2，）．
在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y＝ax+b（a≠0）
把A、B的坐标代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+，
当y＝0时，x＝，即P（，0）；
故答案为：（，0）．

12．解：如图，延长BC'交AB'于点H，

∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝2，
∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，
∴AB＝AB′＝2，∠BAB′＝60°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠B′BA＝60°，BB′＝BA；
在△BB′C′与△BAC中，
，
∴△BB′C′≌△BAC（SSS），
∴∠B′BC′＝∠ABC′＝30°，且AB＝BB'，
∴BH⊥AB'，AH＝B'H＝，
∴BH＝AH＝，
∵AC'＝B'C'，∠AC'B'＝90°，C'H⊥AB'
∴AH＝C'H＝，
∴BC'＝BH﹣C'H＝﹣，
故答案为：﹣．
13．解：令x2﹣x＝t，
∴t＝x2﹣x＝（x）2﹣≥，
∴t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），
∴t＝3，
即x2﹣x＝3，
∴原式＝3+2020＝2023，
故答案为：2023．
14．解：∵袋子里装有4个黑球，2个白球，
∴从中任意模出1个球，可能是黑球，有可能是白球，
∴事件“从中任意模出1个球，是黑球”的事件类型是随机事件，
故答案为：随机．
15．解：以点C为圆心，CA为半径作⊙C，在AC上截取AG＝BD，设∠ABE＝α，
∴点A、E、B都在⊙C上，
∴∠ACE＝2∠ABE＝2α，∠BCE＝60°﹣2α，
∵AG＝BD，∠BAG＝60°＝∠CBD，AB＝BC，
在△ABG和△BCD中，
，
∴△ABG≌△BCD，
∴BG＝CD，∠ABG＝∠BCD＝60°﹣2α，
∴∠FBG＝∠ABE+∠ABG＝60°﹣α，
又∵∠F＝∠BAC﹣∠ABF＝60°﹣α，
∴∠FBG＝∠F，
∴BG＝FG，
∴CD＝FG，
∵BD＝AG，AB＝AC，
∴CG＝AC﹣AG＝AB﹣BD＝AD＝3，
∴FG＝CF﹣CG＝4，
∴CD＝4．
故答案为4．

16．解：如图：
以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意，得A（5，0），C（0，5），
设抛物线解析式为：y＝ax2+5，
把A（5，0）代入，得a＝﹣，
所以抛物线解析式为：y＝﹣x2+5，
当x＝3时，y＝，
所以当水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为m．
故答案为．
三．解答题（共8小题，满分80分）
17．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴该函数的对称轴为直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当3≤x≤5时，x＝3时，取得最小值，此时y＝32﹣2×3+1＝4，
即3≤x≤5范围内y的最小值是4．
18．解：（1）用树状图表示取出的三个小球上的数字所有可能结果如下：
∴共有12种等可能的情况；

（2）由树状图可知，所有可能的值分别为：，
共有12种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中的值是整数的情况有6种．
所以的值是整数的概率P＝．
19．（1）解：如图，⊙O为所作；

（2）证明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
而∠CAB＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠CAO＝∠BAO＝30°，
∴OC平分∠CAB．
20．解：（1）设2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，
依题意得：2000（1+x）2＝2880，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为20%．
（2）2880×（1+20%）＝3456（万元）．
答：预计2021年该地区将投入教育经费3456万元．
21．（1）证明：连接OE，如图1所示：
∵PN＝PE，
∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE．
∵AB⊥CD，
∴∠OBE+∠BNF＝90°，
∴∠OEB+∠PEN＝90°，
即∠OEP＝90°，
∴PE⊥OE，
∴PE是⊙O的切线．
（2）解：连接CE，如图2所示：
∵DE∥AB，AB⊥CD，

∴∠EDC＝90°
∴CE为⊙O的直径．
∵AB⊥CD，
∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．
∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，
∴CD＝＝＝8，
由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8．
在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，
即x2+62＝（x+8）2﹣102，
解得：x＝，
∴PD＝．
∴PE＝＝＝，
∴PN＝PE＝．

22．解：（1）如图1中，设AB交y轴于C．

由，解得或，
∴A（2，4），B（﹣4，﹣2），
∵直线AB交y轴于C（0，2），
∴S△AOB＝S△AOC+S△OCB＝×2×2+×2×4＝6．

（2）如图2中，

由题意E（1，8），F（1，0），
∵G（0，﹣），
∴直线FG的解析式为y＝x﹣，
由，解得或，
∴I（，），
∴直线EH的解析式为y＝x+
令y＝0，解得x＝，
∴H（，0）．

（3）如图3中，

∵E（1，8），
∴OE＝＝，
当OM1是菱形的对角线时，E，N1关于x轴对称，可得N1（1，﹣8）．
当OM为菱形的边时，可得N2（1+，8），N4（1﹣，8）．
当OE为菱形的对角线时，连接M3N3交OE于T，EN3交y轴于P．
∵M3N3⊥OE，
∴∠OTM3＝90°，
∵∠POE＝∠TM3O，
∴sin∠POE＝sin∠OM3T，
∴＝，
∴OM3＝，
∴M3（，0），
∵TN3＝TM3，T（，4），
∴可得N3（﹣，8），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（1，﹣8）或（1+，8）或（1﹣，8）或（﹣，8）．
23．（1）证明：△＝64m2﹣4m•（16m﹣1）
＝4m，
∵m＞0，
∴△＞0，
∴抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）根据题意，x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝＝8，x1•x2＝，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1+x2）2﹣4x1•x2＝4，
∴82﹣4•＝4，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣8x+15；

（3）抛物线的对称轴为直线x＝＝4，
∵抛物线开口向上，
∴当x＝2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，
∴4m﹣16m+16m﹣1≥0，
∴m≥．
24．（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，
∴OB＝OC，
在△AOB和△AOC中，，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴AB＝AC，
∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，
∴AD＝AC，
∴AB＝AD；

（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，
由（1）知，AB＝AD，
∴DM＝BD，
∵BF＝4，DF＝6，
∴BD＝10，
∴DM＝5，

∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，
∴△ADM∽△FDA，
∴，
∴，
∴AD＝，
在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；

（3）的值是不发生变化，
理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，
∴∠AHD＝90°＝∠COA，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠CAO+∠DAH＝90°，
∴∠ADH＝∠CAO，
∵AD＝AC，
∴△ADH≌△ACO（AAS），
∴DH＝AO，AH＝OC，
∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，
∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，
又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，
∴DQ＝BQ，
∴△DBQ为等腰直角三角形，
∴∠DBQ＝45°，
∴∠DEH＝∠BEO＝45°，
∴sin∠DEH＝，
∴＝，
∴，
∴．