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专题跟踪检测（三） 平面向量
1．已知向量a＝(m，－2)与b＝(4，n)共线，且|a|＝2|b|，则m·n的值为(　　)
A．8　　　　　　　　　　 B．－8
C．4 D．－4
解析：选B　因为a与b共线，所以m·n＝4×(－2)＝－8.
2．如图，向量a－b＝(　　)

A．e1－3e2 B．e1＋3e2
C．－3e1＋e2 D．－e1＋3e2
解析：选D　由图可得，a＝e1＋4e2，b＝2e1＋e2，所以a－b＝－e1＋3e2.
3．(2021·石家庄一模)设向量a＝(1,2)，b＝(m，－1)，且(a＋b)⊥a，则实数m＝(　　)
A．－3 B
C．－2 D．－
解析：选A　由题意，向量a＝(1,2)，b＝(m，－1)，可得a＋b＝(m＋1,1)，因为(a＋b)⊥a，可得(a＋b)·a＝m＋1＋2＝0，解得m＝－3.
4．在△OAB中，若点C满足＝2，＝λ＋μ，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　在△OAB中，∵＝2，
∴－＝2(－)，即3＝＋2，
∴＝＋.
又知＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D.
5．(2021·淄博三模)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则|2a＋b|＝(　　)
A．3 B.
C．7 D.
解析：选D　由已知可得|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，则a·b＝，因此，|2a＋b|＝＝＝.
6．已知|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝a·b＋b2＝|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝2cos〈a，b〉＋1＝0，
得cos〈a，b〉＝－，而向量的夹角在[0，π]上，
所以〈a，b〉＝.
7．(多选)在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ (λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是(　　)
A．λμ的最小值为16 B．λμ的最大值为
C.＋的最大值为16 D.＋的最小值为4
解析：选BD　因为D为AC上一点且满足＝，所以＝4，因为＝λ＋μ，所以＝λ＋4μ，因为P为BD上一点，所以B，P，D三点共线，则有λ＋4μ＝1，由基本不等式可得1＝λ＋4μ≥2＝4，解得λμ≤，当且仅当λ＝4μ＝时取等号，故λμ的最大值为，故选项A错误，选项B正确；＋＝(λ＋4μ)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当λ＝4μ＝时取等号，故＋的最小值为4，故选项C错误，选项D正确．故选B、D.
8．(2022届·江门质检)已知点O为△ABC的外心，AB的边长为2，则·＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．4
解析：选C　因为点O为△ABC的外心，设AB的中点为D，连接OD，则OD⊥AB，如图，所以·＝·(＋)＝·＋·＝2＋0＝×22＝2.
9．(2021·北京房山区高三一模)在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若＝m＋n，则m－n的值为(　　)
A．－ B．－1
C．1 D.
解析：选A　因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，所以m＝，n＝⇒m－n＝－，故选A.
10.(多选)(2021·湖南雅礼中学一模)如图，AB是圆O(O为圆心)的一条弦，由下列一个条件能确定· 值的有(　　)
A．已知圆的半径长
B．已知弦长|AB|
C．已知∠OAB大小
D．已知圆的半径长和∠OAB大小
解析选BD　由·＝||||cos∠OAB＝||·||＝||2，
若已知弦长|AB|，则可求解·；
若已知圆的半径长R和∠OAB大小，则可求得||＝2Rcos∠OAB，从而可求解·.
11.如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则·的最大值为(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选C　∵扇形OAB的半径为1，∴||＝1，∵OP⊥OB，∴·＝0.∵∠AOB＝，∴∠AOP＝，∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝1＋||cos ＋||·||cos ≤1＋0×＋0×＝1，故选C.
12．(多选)(2021·苏州二模)已知△ABC是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G，点P为△ABC所在平面内任一点，则下列等式一定成立的是(　　)
A．|＋|＝2 B．·＝2
C．＋＋＝3 D．|＋|＝|＋|
解析：选BC　因为△ABC是边长为2的正三角形，
所以|＋|＝＝＝＝2，故A不正确；
·＝||||cos∠BAC＝2×2×＝2，故B正确；
根据重心的性质可得AG―→＝×(＋)＝(＋)，
所以3－3＝－＋－，
所以3＝＋＋，故C正确；
因为|＋|＝||＝2，|＋|＝＝
＝ ＝2，故D不正确．
13．(2021·昆明二模)已知平面向量a＝(，)，则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为__________．(写出满足条件的一个向量即可)
解析：设b＝(x，y)，∴a·b＝x＋y＝··，
∴＝x＋y，∴xy＝0，且b为非零向量，∴x＝1，y＝0满足题意，∴b＝(1,0)．
答案：(1,0)(答案不唯一)
14．设向量a，b满足|a＋b|＝2|a－b|，|a|＝3，则|b|的最大值是________．
解析：由|a＋b|＝2|a－b|两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝4(a2－2a·b＋b2)，化简得到3a2＋3b2＝10a·b≤10|a||b|，将|a|＝3代入整理得|b|2－10|b|＋9≤0，解得1≤|b|≤9.
答案：9
15．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，cos A＝，D是边BC的中点，E是AB上一点，且＝λ (0≤λ≤1)，·＝，则λ＝________，·＝________.
解析：由已知得·＝3×2×＝，＝λ－，所以·＝λ·(λ－)＝λ22－λ·＝9λ2－λ＝，0≤λ≤1，解得λ＝.
因为＝＋＝＋(－)＝＋，＝＝－，所以·＝(＋3)·(－)＝(－2－2·＋32)＝0.
答案：　0
16．(2021·黄山一模)已知||＝1，||＝2，且·＝1，·＝0，则||的最大值为________．
解析：因为||＝1，||＝2，·＝1，所以cos〈，〉＝＝，因为〈，〉∈[0，π]，所以与的夹角为，即∠ABC＝，因为·＝0，所以AD⊥DC，即点D是以AC为直径的圆上的点，以B为原点，BC为x轴正方向建系，如图所示．
所以B(0,0)，A－，，C(2,0)，设以AC为直径的圆的圆心为P，所以P，，且r＝||＝＝，所以D的轨迹的方程为x－2＋y－2＝，||的最大值为||＋r＝ ＋＝＋＝.
答案：