2023届高考数学一轮复习-第3讲-第1课时-两角和与差的正弦、余弦和正切公式.doc

第3讲　简单的三角恒等变换

考向预测
核心素养
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查.
数学运算、
逻辑推理

[学生用书P102])

一、知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsinβ；
cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsinβ；
tan(α±β)＝
.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3．三角函数公式的关系

常用结论
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
3．公式的常用变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
4．辅助角公式
asin x＋bcos x＝ sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P219例4(1)改编)sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45°＝(　　)
A. B. C.－ D.－
解析：选C.sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45°＝－(cos 15°·cos 45°－sin 15°sin 45°)＝－cos(15°＋45°)＝－cos 60°＝－.
2．(人A必修第一册P218例3改编)已知α∈，sin α＝，则tan＝(　　)
A. B.7
C.－ D.－7
解析：选A.因为α∈，所以cos α＜0.因为sin α＝，
所以cos α＝－，所以tan α＝＝－，
所以tan＝＝＝.
3．(人A必修第一册P229习题5.5T12改编)sin －cos 的值为(　　)
A．0 B.－
C.2 D.
解析：选B.sin －cos ＝2＝2sin＝2sin＝－.
4．(人A必修第一册P229习题5.5T5改编)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________．
解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
答案：

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
1．(多选)(公式记忆混乱致误)下列各式中，正确的是(　　)
A．sin＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
解析：选ABC.因为sin＝sin cos ＋cos ·sin ＝sin cos ＋cos ，所以A正确；
因为cos ＝－cos ＝－cos
＝sin －cos cos ，所以B正确；
因为cos＝cos＝cos cos ＋，所以C正确；
因为cos ＝cos≠cos －cos ，所以D不正确．故选ABC.
2．(不会合理配角致误)若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．
解析：tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝.
答案：
3．(忽略角的范围致误)已知在△ABC中，sin A＝，cos B＝，则cos C＝________．
解析：因为cos B＝＜，所以B∈且sin B＝.
因为sin A＝＜，所以A∈∪.
若A∈，因为B∈，则A＋B∈，与A＋B＋C＝π矛盾，所以A∉，故A∈，则cos A＝，
所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
＝－cos Acos B＋sin Asin B
＝－×＋×
＝.
答案：
第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[学生用书P104])
考点一　两角和与差公式的直接应用(自主练透)
复习指导：理解两角和与差公式的推导过程，会直接利用公式进行三角变换．
1．已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
解析：选A.由三角函数的定义，得sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°，
则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°
＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°
＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝.
2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B.
C. D.－
解析：选A.因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，
所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
3．若sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，则sin 2αcos β＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.由sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，
可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝，①
sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝，②
由①＋②得2sin 2αcos β＝，
所以sin 2αcos β＝.故选B.
4．已知cos＝cos α，tan β＝，则tan(α＋β)＝________．
解析：因为cos＝cos α－sin α＝cos α，
所以－sin α＝cos α，故tan α＝－，所以tan(α＋β)＝＝＝＝－.
答案：－

利用三角函数公式时应注意的问题
(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．

考点二　三角函数公式的逆用与变形应用(综合研析)
复习指导：能运用三角函数公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
(1)cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　　)
A. B.
C.1 D.
(2)若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________．
(3)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【解析】　(1)cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.
(2)tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
(3)因为sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
所以①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
所以sin αcos β＋cos αsin β＝－，
所以sin(α＋β)＝－.
【答案】　(1)D　(2)2　(3)－

(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
|跟踪训练|
1．(1－tan215°)cos215°的值为(　　)
A. B.1
C. D.
解析：选C.(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
2．(2022·陕西省模拟)已知0＜α＜β＜，且cos(α－β)＝，sin β＝，则sin α＝(　　)
A．－ B.
C.－ D.
解析：选D.因为0＜α＜β＜，cos(α－β)＝，sin β＝，
所以α－β∈，sin(α－β)＝－＝－，cos β＝＝.
所以sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝－×＋×＝＝.
3．(2021·新高考卷Ⅰ)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B.－
C. D.
解析：选C.通解(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，
所以或所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2 θ＋sin θcos θ＝－＝.故选C.
优解一(弦化切法)：因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.
优解二(正弦化余弦法)：因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.则＝＝sin θ·(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.
4．已知＝，且tan(α＋β)＝，则tan α的值为________，tan β的值为________．
解析：因为sin2α＋cos2α＝1，所以＝＝，利用tan α＝可得，＝，即tan2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2.所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝－1.
答案：2　－1
考点三　三角公式的灵活应用(多维探究)
复习指导：三角公式的灵活应用的实质是三角恒等变换，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
角度1　三角函数公式中变“角”
(2022·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________．
【解析】　由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，因为β－∈，所以cos＝－，cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.
【答案】　－
角度2　三角函数公式中变“名”
已知cos＝，θ∈，则sin＝________．
【解析】　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin 2θcos －cos 2θsin
＝×－×＝.
【答案】　

三角函数公式应用的解题思路
(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝，＝2×等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[提醒]　转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
|跟踪训练|
1．(多选)(2022·河北省省级联测)设α∈，β∈，若＝tan，则有(　　)
A．sin α＝sin β B.cos α＝－cos β
C．sin α＝cos β D.sin2＋sin2＝1
解析：选ABD.＝tan⇒＝tan⇒＝.因为α∈，所以∈，因此有＝，
又因为β∈，所以∈，
所以coscos－sinsin＝0，即cos＝0，因为∈，∈，
所以∈，即＝，因此α＋β＝π，
所以有sin α＝sin(π－β)＝sin β，cos α＝cos(π－β)＝－cos β，
sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.
2．已知0<α<，且sin α＝，则tan＝________；＝________．
解析：由题意得cos α＝＝，所以tan α＝＝，
则tan＝tan(α＋)＝＝7.
＝
＝＝＝.
答案：7　
[学生用书P407(单独成册)])
[A　基础达标]
1．sin 110°cos 40°－cos 70°sin 40°＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
解析：选A.sin 110°cos 40°－cos 70°sin 40°＝sin 70°cos 40°－cos 70°sin 40°＝sin(70°－40°)＝sin 30°＝.
2．(2022·福建五校第二次联考)已知cos＝，则sin 2α＝　　)
A. B.－
C. D.－
解析：选C.因为cos＝，所以(cos α＋sin α)＝，所以cos α＋sin α＝，两边同时平方得1＋sin 2α＝，得sin 2α＝.
3．(2021·高考全国卷甲)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.
4．已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)
A. B.－
C. D.±
解析：选A.因为cos＝，
所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝
＝cos＝×＝.
5．(多选)下列各式中，值为的是(　　)
A．cos2－sin2 B.
C．2sin 195°cos 195° D.
解析：选BC.选项A，cos2－sin2＝cos＝cos ＝，错误；
选项B，＝·＝tan 45°＝，正确；
选项C，2sin 195°cos 195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，正确；
选项D，＝＝，错误．故选BC.
6．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________．
解析：依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－.
又β是第三象限角，因此有cos β＝－，
所以sin＝－sin
＝－sin βcos －cos βsin ＝.
答案：
7．(2022·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝________，tan α＝________．
解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，
所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝
＝＝－1；tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.
答案：－1　
8．已知cos α＝－，tan β＝，π＜α＜0＜β＜，则α－β的值为________．
解析：方法一：由cos α＝－，π＜α＜，得sin α＝－，tan α＝2.
又tan β＝，于是tan(α－β)＝＝＝1.
由π＜α＜，0＜β＜，得＜α－β＜，因此α－β＝.
方法二：由cos α＝－，π＜α＜，得sin α＝－.
由tan β＝，0＜β＜，得sin β＝，cos β＝，
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－.
由π＜α＜，0＜β＜，得＜α－β＜，因此α－β＝.
答案：
9．已知A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，求A＋B的值．
解：因为A，B均为钝角，且sin A＝，sin B＝，
所以cos A＝－＝－，
cos B＝－＝－，
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝－×－×＝.
又因为＜A＜π，＜B＜π，所以π＜A＋B＜2π，所以A＋B＝.
10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解：(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－，sin α＝－，
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得
cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
[B　综合应用]
11．(2022·河北五校联考)已知x，y∈，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.由sin(x＋y)＝2sin(x－y)得sin xcos y＋cos xsin y＝2sin xcos y－2cos xsin y，则tan x＝3tan y，所以tan (x－y)＝＝＝≤，当且仅当tan y＝时等号成立，由于f(x)＝tan x在上单调递增，x，y∈，则x－y的最大值为.
12．(多选)下列四个选项中，化简正确的是(　　)
A．cos(－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
解析：选BCD.对于A，原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝，A错误．
对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确．
对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C正确．
对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．
13．(2022·宁波宁海中学二模)已知tan(α＋45°)＝2 020，则tan α＝________，＋tan 2α＝________．
解析：因为tan(α＋45°)＝2 020，所以＝2 020，所以＝2 020，解得tan α＝，
所以＋tan 2α＝＋＝
＝＝＝＝2 020.
答案：　2 020
14．(2022·大连市质检)＝________．
解析：原式＝
＝＝.
答案：
[C　素养提升]
15．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，所以α－β＝，
所以即≤α≤π，
所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin＋sin(α－2α＋π)
＝cos α＋sin α＝sin.
因为≤α≤π，所以≤α＋≤，
所以－1≤ sin≤1，
即取值范围为[－1，1]．
答案：[－1，1]

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，
因为S△OAM＝|OA|·|OM|sin α＝，
所以sin α＝，又α为锐角，所以cos α＝.
因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
(2)因为sin α＝，cos α＝，cos (α－β)＝－，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，
所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，
因为α为锐角，
sin α＝＞，
所以α∈，所以2α∈，
又β∈，
所以2α－β∈，
所以2α－β＝－.