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§8.3　等比数列
(对应答案分册第25~26页)

1.等比数列的有关概念
(1)定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为an+1an=q,q为常数,q≠0.
(2)等比中项:若a,A,b成等比数列,则A叫作a,b的等比中项.
(3)等比数列的通项公式及其变形
通项公式:an=a1qn-1,其中a1是首项,q是公比.
通项公式的变形:an=amqn-m(m,n∈N*).
(4)等比数列的前n项和公式:Sn=na1,q=1,a1(1-qn)1-q,q≠1.
　　2.等比数列的性质
设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则有如下的性质:
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq.
(2)在等比数列中下标成等差的项组成的新数列仍为等比数列.
(3){an},{bn}都为等比数列,则{anbn}也为等比数列.
(4)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…(其中各项均不为0)也成等比数列.

　　1.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
2.在运用等比数列的前n项和公式时,要注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题出错.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(　　)
(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.(　　)
(3)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(　　)
(4)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=a(1-an)1-a.(　　)
【对接教材】
2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S3=7,则a5+a6+a7+a8+a9+a10=　　　　. 
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=48,S2n=60,则S3n=(　　).

A.83 B.108 C.75 D.63
【易错自纠】
4.若a是2与8的等比中项,a+1是-1与1-2b的等差中项,则a+b的值为　　　　. 

　等比数列的判定与证明　【典例迁移】
　　已知数列{an}的首项a1=2,前n项和为Sn,且3Sn-4,an,2-3Sn-12(n≥2)总是成等差数列.
(1)证明:数列{an}为等比数列.
(2)求满足不等式an<(-4)n-1的正整数n的最小值.

　　【变式设问】若a1=12,an+Sn=n,设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列.

　　点拨　等比数列判定与证明的两个注意点:
(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法,通项公式法、前n项和公式法在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列.
(2)证明一个数列{an}不是等比数列,只需要说明前三项满足a22≠a1·a3,或者是存在一个正整数m,使得am+12≠am·am+2即可.
　　【追踪训练1】(2021年天津卷)已知{an}是公差为2的等差数列,其前8项和为64.{bn}是公比大于0的等比数列,b1=4b3-b2=48.
(1)求{an}和{bn}的通项公式.
(2)记cn=b2n+1bn,n∈N*.
①证明:{cn2-c2n}是等比数列.
②证明:∑k=1nakak+1ck2-c2k<22(n∈N*).

　等比数列基本量的计算　【题组过关】
1.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=　　　　. 
2.已知等比数列{an}为递增数列,且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=　　　　. 
3.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5=　　　　. 
　　点拨　(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
(2)等比数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
(3)根据不同的已知条件选用两个求和公式,若已知首项和公比,则使用公式 Sn=na1,q=1,a1(1-qn)1-q,q≠1.
　等比数列的性质与应用　【考向变换】
　　考向1　等比数列通项的性质
在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则a41a42a43a44=　　　　. 
　　点拨　(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则aman=apaq=ak2.
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},1an,{an2},{anbn},anbn(λ≠0)仍然是等比数列.
　　【追踪训练2】(1)已知等比数列{an}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=(　　).

A.2 B.1 C.12 D.18
(2)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=6,a2a3=5,则a7=　　　　. 
　　考向2　等比数列前n项和的性质
已知数列{an}为等比数列,Sn为其前n项和,n∈N*,若a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,则S12=　　　　. 
　　点拨　在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
　　【追踪训练3】设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5=(　　).
A.34 B.23 C.12 D.13

　等比数列性质的灵活应用
　　在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
在等比数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=(　　).

A.135 B.100 C.95 D.80

　　在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则aman=apaq”,可以减少运算量,提高解题速度.

　　【突破训练】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3S6=89,则an+1an-an-1=　　　　(n≥2,且n∈N*). 
链接《精练案》分册P49