1、2021届高三第一次模拟考试卷
数学
本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22题，时量120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则( )
A. B. C. 1 D. 3
2. 已知向量与的夹角为，且，则( )
A. B. 1 C. D. 2
3. 已知集合，则( )
A. B. C. D.
4. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必
2、要条件
5. 已知正四棱锥的高为，且，则正四棱锥的侧面积为( )
A B. 4 C. D.
6. 已知，且，则的最小值是( )
A. 2 B. 6 C. 3 D. 9
7. 德国心理学家艾宾浩斯(H．Ebbinghaus)研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”他用无意义音节(由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节)作为记忆材料．用节省法计算保持和遗忘的数量，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线(如图所示)．若一名学生背了100个
3、英语单词，一天后，该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词，以频率代替概率，不考虑其他因素，则该学生恰有1个单词不会的概率大约为( )
A. 0.43 B. 0.38 C. 0.26 D. 0.15
8. 已知函数有两个极值点，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 当时，
C. 是图象的一条对称轴
D. 在
4、上单调递增
10. 某工厂组织员工进行专业技能比赛，下图是7位评委对甲、乙两位员工评分(满分10分)的雷达图．根据图中信息，下列说法正确的是( )
A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B. 甲得分众数大于乙得分的众数
C. 甲得分的平均数与乙得分的平均数相等
D. 甲得分的极差小于乙得分的极差
11. 设F是抛物线C：的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若点，则的最小值是3
D. 的面积的最小值是2
12. 在正方体中，，E，F分别为中点，P是上的动点，则( )
A
5、 平面
B. 平面截正方体的截面面积为18
C. 三棱锥的体积与P点的位置有关
D. 过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数，则____________．
14. 在的展开式中，含项的系数为_________．
15. 若函数图象在内恰有一条对称轴，则的最小值是______________．
16. 已知双曲线C：的右焦点为F，过点F的直线l：与双曲线C的右支交于点A，且与y轴交于点B．若的面积为，其中，O为坐标原点，则________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应
6、写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求的面积．
问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，________？
18. 甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中、、环的概率分别为、、，乙一次射击命中、环的概率分别为、．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响．
(1)在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；
(2)记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为，求的分布列；
(3)进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于环的概率．
19. 在如图所示的几何体中，均为等边三角形，且平面平面，平面平面．
(1)证明：．
(2)求二面角的余弦值．
20. 在数列中，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前n项和．
21. 已知点为椭圆C：上一点，且直线过椭圆C的一个焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)不经过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，记直线的斜率分别为，若，直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．
22. 已知函数．
(1)求的最大值；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
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