专题19-二次函数中周长与面积的最值问题(学生版)-备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突.docx

备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)
专题19 二次函数中周长与面积的最值问题
【典型例题】
1．(2022·全国·九年级专题练习)在平面直角坐标系中，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB∥x轴，如图1，C(1，0)，且OC：OA＝AC：BC＝1：2．

(1)A点坐标为______，B点坐标为______；
(2)求过A、B、C三点的抛物线表达式；
(3)如图2，抛物线对称轴与AB交于点D，现有一点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一点Q从点D与点P同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动．当点P到达B点时，点P、Q同时停止运动，问点P、Q运动到何处时，△PQB面积最大，试求出最大面积．

【专题训练】
一、 解答题
1．(2022·山东槐荫·九年级期末)二次函数y＝ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(－4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．

(1)求二次函数的表达式；
(2)连接PA，PC，求的最大值；
(3)连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．

2．(2022·广东韶关·九年级期末)如图，已知抛物线经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式，并求出的最大值．

3．(2022·全国·九年级专题练习)综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点(点B在点A的右侧)，且与y轴交于点C．

(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)如图1，若M(m，y1)，N(n，y2)是第四象限内抛物线上的两个动点，且m＜n，m+n＝4．分别过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E．判断四边形MDEN的形状，并求其周长的最大值；
(3)如图2，在(2)的条件下，当四边形MDEN的周长有最大值时，若x轴上有一点H(2m，0)，抛物线的对称轴与x轴相交于点F，试探究在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝2∠OCH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．(2022·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接AC、BC．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D是抛物线上位于第四象限内的一点，连接AD，点E是AD的中点，连接BE、CE，求△BCE面积的最小值；
(3)如图2，点P是抛物线上位于第四象限内的一点，点Q在y轴上，∠PBQ＝∠OBC，是否存在这样的点P、Q使BP＝BQ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．(2022·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于点A(﹣1，0)、B(4，0)，交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，将直线BC向右平移个单位得到直线l，直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，连接PQ，点R为直线BC上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T，使得四边形PQTR为菱形，若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

6．(2022·全国·九年级专题练习)定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．

(1)已知点P(2，2)，以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4(0＜a＜1)图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．

7．(2022·全国·九年级专题练习)如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m(0＜m＜3)．

(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；
(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．

8．(2022·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点(点A在B左边)，与y轴交于点C．

(1)若A(﹣1，0)，B(3，0)两点，求该抛物线的解析式；
(2)在(1)中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由；
(3)直线y＝1与抛物线y＝x2＋bx＋c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．

9．(2022·全国·九年级专题练习)如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

10．(2022·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)．

(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．
(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

11．(2022·全国·九年级专题练习)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3

(1)求抛物线的解析式；
(2)P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：
(3)将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y′．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y′上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．

12．(2022·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx﹣3交x轴于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，顶点是D．

(1)求抛物线顶点D的坐标；
(2)若P是抛物线在第四象限内的一点，设点P的横坐标是m，连接AC、CP、BP，当四边形ACPB面积最大时，求点P的坐标和最大面积；
(3)若N是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点M，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段CN的长度；若不存在，请说明理由．